V. SECTION.

Des variations d'un Triangle Sphérique dans lequel on fuppofe deux angles conftants.

THEOREME X.

283. SUPPOSANT les deux angles B & C conftants au triangle sphérique BAC (fig. 28), la variation du côté fur lequel ces angles font adjacents, eft à celle d'un quelconque des autres côtés, en raifon compofée de la directe des finus des angles oppofés à ces côtés & de celle du rayon au cofinus du troifieme côté; c'eft-à-dire, que l'on aura dBC: dAC:: fin A× R: fin B× cofAB.

DEMONSTRATION.

Dans le triangle DEF (fig. 11) dont toutes les parties font fuppléments de celles du triangle BAC, les deux côtés DF & FE feront variables. D'où il fuit que ce cas rentre dans celui du premier Théorême de la derniere fection on aura donc dF :dD:: Rx fin DE; fin FEx cofE ; & prenant les correfpondants au triangle BAC, on aura dBC: dAB:: R× fin A: fin C× cofAC, on prouveroit de même que d BC: dAC:: R x fin A: fin B x cof AB. C. Q. F. D.

,

THEOREME XI.

284. La variation du côté adjacent aux angles conftants eft à celle de l'angle oppofé, comme la fécante de complément d'un côté quelconque eft au finus de l'angle conftant fur ce côté; c'eft-àdire, que l'on aura. dBC: dA:: cofec AB : fin B:: cofecAC: fin C.

DEMONSTRATION.

On fait que la cofécante d'un arc est égale au quarré du rayon divifé par le finus de cet arc. Ainfi tout fe

réduit à prouver que d BC: dA:: RR: finBx fin AB; ce qui fe prouvera par le moyen du triangle DEF,

comme on vient de démontrer le dernier Théorême. C. Q. F.D.

THEOREME XII.

285. La variation d'un côté quelconque opposé à l'un des angles conftants, eft à la mesure de la variation du troifieme angle, comme la cotangente de l'autre côté eft au finus de ce même angle variable; c'eft-à-dire,que l'on aura dAB:dA:: cot AC fin A;ou que dAC:dA::cot AB: finA.

DEMONSTRATION.

Cette propofition fe déduira immédiatement du Théorême IX, en applicant ce Théorême au triangle DEF & faisant les changements convenables. C. Q.F.D.

286. Il fuit du dernier Théorême que les variations des côtés AB, AC oppofés aux angles conftants font comme les tangentes de ces mêmes côtés.

COROLLAIRE II.

287. Si l'on fuppofe le triangle rectiligne, le premier Théorême dans la fuppofition actuelle nous apprend que la différentielle du côté variable eft à celle d'un côté quelconque, dans la raison du finus des angles oppofés, ce que l'on fait d'ailleurs par la Géométrie Elémentaire. Le fecond Théorême ne nous donne rien à connoître parce que dA devient zéro dans un triangle rectiligne, dans lequel on fuppofe deux angles conftants. Le troifieme ne nous en apprend pas davantage par la même raifon. Enfin le dernier Corallaire nous apprend que les variations des côtés font comme les côtés eux-mêmes, ce qui eft conforme à ce que nous démontrons dans la Géométrie Elémentaire.

1

OBSERVATION.

288. On auroit pu démontrer aifément les Théorêmes qu'on vient de voir par les figures de nos projections, en cherchant les rapports évanouiflants des différentes lignes qui y font tracées. De même on auroit encore pu les déduire des formules analytiques que l'Algebre nous a fait découvrir, en fuppofant quelquesunes des lettres a,b,c,d,f,g &c,variables fuivant les conditions du Théorême à démontrer, & paffant enfuite des différentielles des finus, tangentes, &c, à celles des arcs de cercle. Mais la méthode de M. COTES m'a paru la plus lumineufe, & en même temps la plus facile; c'eft pourquoi, je n'ai fait, pour ainfi dire, que traduire fon excellent morceau: De æftimatione errorum in mixta Mathefi. On me pardonnera d'avoir tâché de fimplifier encore cette théorie, en l'appliquant aux triangles rectilignes par de fimples Corollaires. Il ne nous refte plus que de faire quelques applications de cette théorie à différents exemples.

PREMIER EXEMPLE.

289. Soit une hauteur AB qu'il faut mesurer avec un inftrument, au moyen duquel on obferve l'angle ACB. On demande quelle erreur on peut commettre fur cette hauteur, d'après celle qui peut avoir lieu dans la mesure de l'angle (fig. 30).

SOLUTION.

Il est évident que dans le triangle BAC, le côté AC & l'angle droit reftent conftants. Donc on aura (no. 258) dAB: dC :: BC: sin ABC :: 2AB: fin 2ACB. Car 2 fin ACBx fin ABC en fubftituant à fin 2ACB fa valeur cette proportion devient BC: R::AB: fin ACB; donc la variation de la hauteur AB eft à la mesure de la variation de l'angle C, comme le double de cette hauteur eft au

R

finus du double de l'angle obfervé. Donc l'erreur qui peut avoir lieu dans la détermination de cette hauteur, fera la plus petite poffible, lorfque le finus du double de l'angle obfervé fera le plus grand poffible. Ce qui a lieu, lorfque cet angle eft de 45°. Ainfi dans le cas où il faudroit déterminer une hauteur comme AB, par l'observation d'un angle en C, il faudra faire enforte que l'angle obfervé foit le plus près qu'il eft poffible de 45°. C. Q. F. T.

290. Voyons préfentement jufqu'où peut aller l'erreur du côté AB, en fuppofant que l'on fe foit trompé d'une minute dans la détermination de l'angle. Si l'on donne au rayon 10000000 l'arc d'une minute qui mefure l'erreur fuppofée, fera de 2909, dont le double est 5818. Or cette quantité eft au finus du double de l'angle demi-droit ou au rayon :: 1: 1719. Ainfi dans la fuppofition actuelle on peut fe tromper fur la hauteur AB de-,. Cette erreur augmentera ou diminuera dans la raifon des erreurs qui auront eu lieu relativement à cet angle fuppofé de 45°. Si l'angle obfervé est plus grand ou plus petit que 45°, l'erreur augmentera dans la raison du rayon au finus de l'angle double.

SECOND EXEMPLE.

291. On demande l'heure du jour ou de la nuit par la hauteur obfervée d'une étoile ou d'un aftre quelconque ; & l'on propofe d'affigner l'erreur du temps d'après l'erreur connue dans la hauteur obfervée (fig. 31).

SOLUTION.

Soit le triangle fphérique PZS dans lequel P eft le pole, Z le zénit de l'observateur, & S l'aftre ou l'étoile observée; PS eft le complément de la déclinaifon de l'aftre, PZ le complément de la latitude, ZS le complément de la hauteur. L'angle ZPS eft l'angle horaire variable compris entre les côtés conftants PZ, PS. L'on aura la variation de l'angle

horaire

horaire SPZ à la variation du côté oppofé SZ, comme la cofécante de l'angle PSZ eft au finus de l'arc PZ (no. 276), ou dP: dZS:: R2: fin Z× fin PZ; mais la variation de l'angle en P eft la mesure de l'erreur du temps: ainfi l'on peut prendre d P pour l'erreur même du

temps, & l'on aura dP ou d t =

dZSx R2

fin Z × fin PZ • C.Q.F. T.

COROLLAIR E.

R2

292. Il fuit de-là qu'en fuppofant la même erreur dans les obfervations & la latitude de l'obfervateur auffi la même, l'erreur du temps ne changera pas quelle que foit la hauteur de l'astre dans fon vertical, puisque fin ᏢᏃ fera toujours une quantité conftante. De plus, on voit que dans la même fuppofition de la latitude conftante, l'erreur du temps fera la moindre poffible, lorsque l'aftre aura été observé dans le premier vertical. Enfin fi l'on fuppofe deux latitudes différentes, l'erreur fera la moindre poffible, lorfque l'obfervateur fera à l'équateur, & qu'il observera un aftre placé dans le premier vertical.

Par exemple,en admettant ces deux conditions: Si l'on fuppofe de plus qu'on fe foit trompé d'une minute dans l'obfervation de la hauteur; l'on trouvera, en faisant le calcul, que l'erreur eft de 4 fecondes de temps. Si nous fuppofons à présent que l'obfervateur s'éloigne de l'équateur,cette erreur sera à la précédente dans la raifon du finus total au finus de complément de la latitude, l'aftre étant toujours obfervé dans le premier vertical. Ainfi pour une latitude de 45°, l'erreur fera de 5"; pour une latitude de 50°, l'erreur feroit de 6" ; & pour une de 55°, l'erreur fera de 6" 7. Enfin fi l'aftre a été observé dans un vertical quelconque incliné au méridien l'erreur augmentera encore à l'égard de celles trouvées précédemment dans la raifon du rayon au finus de cet angle; & fes variations fuivront en même temps les va

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