riations de l'erreur primitive fuppofée dans l'observation,

TROISIEME EXEMPLE.

293. Soient LSK, & L' S'K' deux cercles almikantarats ou paralleles à l'horizon (fig. 32). S, S' les points où ces cercles font rencontrés dans un même jour par un aftre dont la déclinaifon eft fuppofée la même pendant tout ce jour on demande quel doit être le rapport des angles PSZ, PS'Z de chaque cercle horaire PS, PS' avec le vertical correfpondant, pour que le temps que l'aftre employera à paffer d'un almikantarat à l'autre, foit le plus court poffible.

SOLUTIO N.

L'énoncé du Problême fait voir que dans les triangles PZS, PZS', les côtés PZ & ZS, ZS' font constants, tandis que les côtés PS, PS' varient. Soient donc nommés h & h' les angles horaires en P; S&S' les angles à l'aftre en S & S' de chaque cercle horaire PS, PS' avec le vertical correfpondant ZS & ZS'; & foit D la déclinaifon dont la variation fera d D que nous ferons négative, parce que, fuivant la figure, fi cette déclinaifon eft boréale comme nous l'avons fuppofé ici, les arcs PS, PS' diminuent à mesure que la déclinaifon augmente. Cela cot S x dD pofé, on aura par le n°.279, dh―― ; & pareil

lement dh'

cot S' x dD
cofD

cof D

Donc, puifque le temps par

l'arc SS' doit être un minimum, la différence des variations des angles horaires doit être égale à zéro; ce qui

donnera

cot S'xdD

cof D

+

cot Sx dD
D

cof Ꭰ

= 0; d'où l'on

tire fur le champ cot Scot S: ce qui m'apprend que ce jour-là les angles S',S doivent être égaux. Si l'aftre est le foleil, & fi l'un des almikantarats fe confond avec l'horizon, & que l'autre foit le cercle crépufculaire que l'on fuppofe communément de 18° au-deffous de l'ho

rizon, le fymptome qu'on vient de découvrir, m'apprend que ce jour-là les angles au foleil, foit à l'horizon foit dans le cercle crépufculaire, font égaux. Ce même fymptome fervira donc à trouver le jour du plus court crépuscule, en cherchant d'abord quelle doit être la déclinaifon qui répond à ce rapport déterminé pour les angles au foleil. C'eft ce que nous allons faire dans le Problême fuivant.

PROBLEM E.

294. Suppofant égaux les angles de chaque cercle horaire avec le vertical qui lui répond; on demande quelle doit être la déclinaifon qui lui répond (fig. 32).

SOLUTION.

Soient S &S' les angles de chaque cercle horaire avec le vertical; & C, C' les diftances de chaque cercle parallele à l'horizon à ce même grand cercle. Soit de plus L la latitude du lieu, & D la déclinaifon de l'aftre; on aura cof D x cof S

(n°. 225 )

pour le triangle PZS
Rx fin L-fin C x fin D
cof C
cof Dx cof S' Rxfin L+fin C'x fin D

R

cof C

R

& pour le triangle PZS

Nous avons mis le

figne dans la feconde formule, à caufe que ZS' eft obtus, ainfi que l'angle oppofé. Donc, puifque les premiers membres de ces équations font égaux, les feconds le feront auffi, & donneront cette nouvelle équation Rxfin Lx cofC-finCx finDx cof C'=RxfinLxcofC +fin C' x fin Dx cofC, d'où l'on tire tout de fuite cette proportion :

finC'xcofC+finCxcofC': Rx(cofC'cofC)::finL:finD, ou n°. 86. fin (C'+C): cof C—cofC:: fin L: fin D, ou bien encore (par les n°. 73 & 95) cof(C + C). :: fin L: fin D.

fin

(C - C')

2

Si donc on fuppofe, comme cela a lieu dans le cas du plus court crépuscule que C foit zéro, on aura cette dertang ::fin L:fin D; c'est

niere proportion R:

C'

2

à-dire, le rayon eft à la tangente de la moitié de l'abaiffement du cercle crépufculaire au-deffous de l'horizon;comme le finus de la latitude eft au finus de la déclinaifon du foleil. Comme cette déclinaison eft négative à cause que

C'

tang eft précédée du figne

2

-, on voit que la déclinaifon du foleil doit être de dénomination contraire à la latitude. C. Q. F. T. & D.

295. Soit u le cofinus de l'angle horaire à l'inftant où finit le crépuscule. L'angle fera représenté par cette in

r du

tégrale

rdz

Donc il

o. Nom

faut fuppofer

dz

mons c le finus de la latitude & g fon cofinus; h le finus de l'abaiffement du cercle crépufculaire au - deffous de l'horizon, & y le finus de la déclinaison; on aura

Au moyen de ces valeurs, chaffons u & dans la premiere équation & divifons la transformée par dy; nous aurons hy+, +2cry3 — g2hy2 2cr3y c2hro. D'où l'on tire

y = r & y = r; & encore y =

l'inconnue y dans cette équation.

Les deux premieres valeurs indiquant le foleil au pole

où il ne peut phyfiquement arriver, font étrangeres à la queftion, & ne nous donnent rien à connoître. Des deux autres, la plus grande donne le minimum de la fomme de l'arc fémidiurne, & de l'arc parcouru depuis midi jufqu'à la fin du crépuscule; & la plus petite donne le minimum de la différence des mêmes arcs que nous cherchons. Ainfi la déclinaifon demandée a pour finus .

y

cr+c Vr2-h2

h

Donc fi l'on nomme t la tan

gente de la moitié de l'abaiffement du cercle crépufculaire au-dessous de l'horizon, on aura y―――; our:t::c:

ct

r

-y. Ce qui nous apprend, comme nous l'avons déja vu par notre premiere Solution, que la déclinaifon du foleil eft de dénomination contraire à la latitude de l'obfervateur.

OBSERVATION.

296. Il fuit de notre premiere Solution que fi deux triangles fphériques ont deux côtés égaux chacun à chacun avec un angle auffi égal oppofé à l'un de ces côtés égaux, on aura cette analogie: Le cofinus du côté opposé à l'angle égal, eft au cofinus de l'autre côté adjacent au même angle égal; comme le cofinus de la demi-fomme des autres côtés,eft au cofinus de la demi-différence des mêmes côtés. C'eft ce qui fe déduit immédiatement de ce que l'on a

cos (C + C'): fin (C=C') : : fin L : fin D, en fai

2

fant attention que les dénominations particulieres au problême peuvent être généralisées, en ne confervant que ce qui eft effentiel aux triangles que l'on eft obligé de confidérer.

Si l'on demandoit pareillement quelle doit être la déclinaifon d'un aftre, pour que dans l'intervalle de deux angles horaires donnés, le changement en hauteur fût le moindre poffible. On trouveroit par le même procédé

& avec les dénominations précédentes que cof (K–h)

h'

cos (1⁄2 + h) : : tang

:: tang L: tang D.

297. Trouver en tout temps la correction qu'il faut faire au midi conclu par les hauteurs correfpondantes d'un aftre dont la déclinaifon fubit une petite variation, pendant l'intervalle des deux hauteurs égales (fig. 32).

SOLUTION.

Les Aftronomes, pour s'affûrer de l'instant du midi, obfervent la hauteur du centre du foleil quelques heures avant midi; & quelques heures après, ils obfervent l'inftant auquel cet aftre eft à la même hauteur fur l'horizon : le milieu de l'intervalle de temps compris entre ces deux obfervations & compté fur la pendule, marque l'inftant du paffage du foleil par le méridien. Cette méthode feroit exacte & rigoureuse fi la déclinaifon du foleil n'éprouvoit aucune variation dans l'intervalle des obfervations; ce qui n'a jamais lieu rigoureufement. Le temps des folftices eft celui où cette erreur eft la moindre poffible, parce que pour lors le foleil ne change pas fenfiblement de déclinaison pendant deux ou trois jours. Dans tous les autres moments de l'année, cette opération a befoin d'une correction qu'il s'agit de déterminer par ce problême. Car il eft vifible que lorfque le foleil eft dans les fignes afcendants,il arrive plus tard à la même hauteur; & dans les fignes defcendants, il arrive plutôt à la même hauteur: il faut donc dans les fix premiers mois retrancher quelque chofe, & ajouter quelque chofe dans les fix autres mois pour avoir l'inftant précis du midi.

Pour trouver cette correction; foit Ps un cercle horaire très-voifin de l'arc PS, & terminé à ce même almi