kantarat LSK (fig. 32), il eft vifible que la mesure de l'angle SPs réduite en temps exprime de combien le foleil eft arrivé plus tard ou plutôt l'après-midi à la même hauteur que le matin. Donc la moitié de cet arc fera ce qu'il faudra ôter ou ajouter à l'inftant du midi conclu par la hauteur correspondante. Cela fuppofé, fi le changement en déclinaison eft affez petit, pour qu'on puisse le confondre fenfiblement avec la variation naiffante ou la différentielle de l'arc PS; il eft vifible qu'au triangle PZS, les arcs PZ & ZS demeureront conftants, tandis que le côté PS eft variable. Or nous avons trouvé cot AB cot BC (art. 280) que dB: dBC:: ++ :R: en ́ fin B

tang B

mettant B, A, C aux points P, Z, S, ce qui donne tang, déclinaison). Cette

dP=

tang PS

X

R

(

latitude tang.

fin P

tang P

formule eft précisément celle que donne M. DE MauPERTUIS, p. 34 de fon Aftronomie Nautique. Le figne+ a lieu, lorfque la déclinaifon eft auftrale; il eft négatif, lorfque la déclinaison eft boréale, comme il eft aifé de s'en affûrer par le détail de nos Solutions géométriques. La moitié de cet arc réduit en temps fera la correction demandée. C. Q. F. T.

Ceux qui feroient curieux de voir un plus grand nombre d'applications de ces analogies différentielles, peuvent avoir recours aux Mémoires de l'Académie année 1744. On en trouvera auffi un grand nombre dans l'Aftronomie de M. DE LA LANDE. Nous obferverons feulement que fouvent plufieurs de ces folutions ne font pas dans une rigueur vraiment Géométrique ; mais elles approchent d'autant plus de la précifion que les arcs que l'on confidere, peuvent plus aifément être pris pour des arcs naiffants. Nous terminerons ce Chapitre par la folution d'un problême plus curieux qu'utile, mais qui néantmoins nous apprend encore des vérités intéreffantes par la fimplicité de la folution à laquelle on arrive. Il

s'agit dans ce Problême de trouver la furface d'un triangle fphérique quelconque. Plufieurs Géometres & M. JACQUES BERNOULLI entr'autres, ont cherché la quadrature de cette portion de la furface de la sphere; ils ont eu pour l'élément de cette furface une différentielle dont l'intégrale dépend de la quadrature de l'hyperbole. La folution que je donne ici, & que j'ai tiré de M. WALLIS, eft certainement la plus élégante que l'on puiffe découvrir, & pourroit indiquer des moyens de ramener à la quadrature du cercle des intégrales de différentielles affez compliquées.

PROBLEM E.

298. Trouver la furface d'un triangle sphérique quelconque BAC (fig. 33).

SOLUTION.

Soient d'abord prolongés les côtés AB & BC d'un angle quelconque B, de maniere que BAb, BCb; ABa, CBc foient chacun des arcs de 180°: il eft vifible que le triangle AbC fera égal en tout au triangle a Bc. Soit conçu un plan qui paffe par les points A, C; a,c, & par conféquent par le centre de la fphere; ce qui donnera la furface ACB ac égale à celle d'une demi-fphere, que nous défignerons par s, en faifant le rayon de fon grand cercler, & la circonférence c. Enfin foient encore défignés par les lettres M, N, O, P, n les triangles ABC, CBa, a Bc, cBA, Ab C. Cela pofé, la portion ou le fufeau fphérique bABCb, cette analogie c: B::s:

Bs

C

fe déterminera par

M+n, ou M+N; de

même le fufeau AC a BA fe déterminera par cette autre c: A::s:=M+O; & le fuseau CBC AC fe

As

C

Cs

trouvera en faisant c:C:: s:=M+P.

c

Donc en raffemblant toutes ces égalités, on aurą

B+A+Cx=3M+N+O+P; & à cause

C

que M+N+O+Ps, on trouvera M ou l'aire du triangle BAC= xss; & parce que la

B+A+C

20

furface de la demi-sphere =cr, on aura enfin l'aire du triangle fphérique BAC= (B+A+C) xr— crou A+ C = C)

B+A+

2

2

×r; c'est-à-dire, qu'il faudra ajouter

les trois angles du triangle sphérique, en ôter la circonférence ou ôter cette même fomme de 360°, lorsqu'elle furpaffera quatre angles droits, & multiplier la demidifférence par le rayon.

CHAPITRE SIXIEME.

Application des Regles démontrées dans les Chapitres précédents à quelques Problêmes d'Aftronomie Sphérique.

Q

UOIQU'AVEC les Tables que nous avons ajoutées à la fin du fecond Chapitre, on foit en état de réfoudre tous les problêmes qui fe réduiront à quelques-uns des cas des triangles fphériques rectangles ou obliquangles; néanmoins comme ceux qui n'auroient pas un certain ufage des calculs trigonométriques, pourroient craindre de fe tromper dans l'application de ces regles aux nombres, j'ai cru ne pouvoir me difpenfer d'ajouter ici un certain nombre d'exemples, afin de rendre ce petit Traité le plus complet qu'il feroit poffible. J'aurois pu, comme tous les Auteurs Trigonométriques, faire ces ap

plications fur des triangles quelconques, dont les parties n'auroient eu aucune dénomination particuliere; mais j'ai mieux aimé fuppofer tous ces triangles relatifs aux cercles de la fphere, afin de rendre ces folutions plus intéreffantes pour les Commençants.

Nous fuppoferons donc toujours dans la fuite les principaux cercles de la fphere défignés, comme ils fe trouvent marqués dans la figure 34. HOR eft l'horizon; l'équateur AOQ; l'écliptique IEL. Faisant avec l'équateur un angle qui diminue très - lentement & que nous fuppoferons avec tous les Aftronomes pour le temps préfent de 23°28' 30". PZH est le méridien dans lequel les points P, p repréfentent les poles; favoir, P celui qui eft élevé fur l'horifon, & p celui qui eft abaiffé au-deffous. Nous fuppoferons la hauteur du pole de 48° 51', telle qu'elle eft pour la ville de Paris. Enfin nous défignerons un aftre quelconque par S. Nous fuppofons qu'on fait ce que c'eft que la déclinaifon d'un aftre, fon afcenfion droite, fa longitude & fa latitude, ainfi que les principaux cercles de la sphere, dont on trouve des notions fuffifantes dans tous les éléments de la fphere.

PROBLEME I.

299. Connoiffant le lieu du foleil dans l'écliptique trouver fa déclinaifon ou fa diftance SD à l'équateur (fig. 34).

SOLUTION.

.

Soit S le lieu du foleil 18° 24′ du taureau ; donc l'arc ES fera de 48° 24'; ainfi dans le triangle SDE rectangle en D, on connoît l'hypoténufe ES, & l'angle DES de 23° 28' 30" égal à l'obliquité de l'écliptique. On aura donc par la table des triangles rectangles

fin DS=

fin ESx fin DES

R

OPÉRATION PAR LOGARITHMES.

Log. fin. 48° 24' = 9,873784.

Log.fin. 23° 28' 30" = 9,600263.

9,474047.= log. fin. 17° 19′ 49′′.

PROBLEME II.

300. Connoiffant la déclinaifon du foleil, & de plus dans quelle faifon de l'année on fe trouve déterminer le lieu du même aftre dans l'écliptique (fig. 34).

SOLUTION.

Suppofons que la déclinaifon du soleil eft boréale de 17° 19' 49", & que l'on eft dans le printemps; il faut trouver l'arc ES de l'écliptique compris entre le foleil & le premier degré d'Ariès. Il est visible que dans le triangle rectangle DES, on connoît l'angle E avec le côté DS qui lui eft oppofé. On aura donc l'hypoténuse ES par l'analogie commune qui donne fin DSXR

fin ES = fin DES

OPÉRATION PAR LOGARITHMES.

9,474047 = log.fin. DS

= 17° 19' 49'. 0,399737 comp. Arit. fin 23° 28' 30".

=

301. On voit par ces deux problêmes comment on a pu par l'observation dreffer des tables du mouvement du foleil dans l'écliptique & de fes variations: car après avoir bien établi la latitude du lieu de l'observateur & fixé un quart de cercle dans le plan du méridien, l'obfervation de la hauteur méridienne du foleil donne fa déclinaifon ou fa diftance à l'équateur, de laquelle il a été facile de conclure chaque jour fa longitude, comme on vient de faire.