AVERTISSEMENT.

8. Dans toute la fuite de cet Ouvrage nous défignerons toujours le rayon du cercle par R our; quelquefois on le suppose égal à l'unité, mais il est mieux de l'exprimer, afin de conferver autant qu'on peut l'homogénéité des termes dans les calculs. De même nous défignerons toujours le finus d'un arc par fin; fon cofinus par cof. fa tangente par tang. fa cotangente par cot. fa fécante par fec. fa cofécante par cofec. fon finus-verfe par fin. verf. & fon cofinus-verfe par cof. verf. Dans les expreffions algébriques, nous ferons le finuss; le cofinus = c; la tangentet; la cotangente; la fécante S & la cofécante = f. le finus-verfev, & le cofinusverfe u.

THEOREME I.

9. Soit un arc de cercle quelconque AM (fig. 1.) que nous défignerons toujours par A dont PM eft le finus & MQ le cofinus; AT la tangente, & Bt la cotangente; je dis que le cofinus eft au finus comme le rayon eft à la tangente, c'est-à-dire, que l'on aura cofin A: fin A:: R: tang A.

DEMONSTRATIO N.

Les triangles femblables CPM, CAT, donnent CP: PM:: CA: AT; ou cof A: fin A:: R: tang A. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

10. Les triangles CQM, CBt étant auffi femblables donneront CQ: QM :: CB : Bt ou sin A : cof A:: R: cot A.

COROLLAIRE II.

fin A II. Il fuit delà que tang A= cof A

xR, & que cot A

cof Ax R

ou algébriquement t == &r=
== D'où

Cr

C

Jin A l'on tire encore fin A× R= cofAx tang A, &cof A= fin Axiang-A

-R

An A lot. A

R

COROLLAIRE III.

12. Il fuit encore delà que les cotangentes d'une fuite d'arcs quelconques font toujours en raison inverse des tangentes des mêmes arcs; puifque l'on a évidemEn un mot on aura tang

ment t:T:

A=

ᎡᎡ cotang A'

ST cr

C

C

C

d'où il fuit que tang A x cot A=RR, d'où l'on voit que le rayon eft moyen proportionnel entre la tangente d'un arc & celle de fon complément ; ce qui pourroit encore fe démontrer fur le champ par les triangles femblables CAT, CB t.

THEOREM E II.

13. Soit toujours un arc quelconque AM; je dis que l'on aura cette proportion; Le rayon eft au double du finus de l'arc AM, comme le cofinus de cet arc eft au finus de l'arc double. Ou, ce qui revient au même, (fig. 2.) R: 2 fin A:: cof A: fin 2A ou alternando; R: cof A:: 2 fin A: fin 2 A.

DEMONSTRATION.

Les triangles rectangles APC, AQN ayant un angle commun en A, font femblables & donnent AC: CP:: AN ou 2 PA: QN ; c'est-à-dire, R: cof A:: 2 fin A : fin 2A; C. Q. F. D.

Si l'on vouloit avoir pareillement l'expreffion du cofinus de l'arc double, les triangles femblables CPA, CQO donneront CA: CP:: CÓ : CQ, d'où l'on tirera fur le champ CQ=2 cof1A-RR en mettant pour CO

fa valeur tirée de ce que

Ꭱ

OP=PT.

COROLLAIRE IV.

K

14. Il fuit delà que l'on aura fin 2A = cos A× fin A Cette équation n'eft autre chofe que celle qui fe tire en prenant le produit des extrêmes & des moyens de la derniere proportion. Si l'on met pour cof A fa valeur fin Ax cot A on aura encore fin 2A — Sin 2 A×cot A

R

fin2 A

,

fin' A

tang A

2

RR

ουτ

, ou

en fubftituant la tangente à la cotangente. THEOREME III.

15. Le rayoneft moyen proportionnel, 1°, entre le cofinus d'un arc & la fécante; 2°, entre le finus du même arc & la fécante de fon complément (fig. 3); c'est-à-dire, que l'on aura ces deux analogies; cof A:R::R: fec A: & fin A:R:: R: cofec A.

DEMONSTRATION.

Les triangles femblables CPM, CAT, CBt donnent 1°, CP: CA :: CM: CT ou cof A: R::R: sec A. 2°, PM : CM :: CB: Ct ou fin A:R:: R: cofec A. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

16. Il fuit delà que l'on aura

fec Ax R

tang A. Car

cofec A

on a vu ci-devant ( no. 11) que tang A=fin A× R. Or

cof A cette quantité eft auffi le quotient de fec A divifée par cofec A, & multipliée par le rayon.

COROLLAIRE II.

17. Il fuit encore delà que fi l'on a deux arcs de cercle A & B, les finus de ces arcs feront réciproquement proportionnels aux fécantes de leurs compléments, & les cofinus de ces mêmes arcs feront réciproques à leurs

RR

fécantes; car puisque cofec A = on aura auffi

RR

fin Bi

fin A

& de même puifque fec A

cofec B=
aura auffi fec B

RR

gies, Cofec A: cofec B::

& fec A: Sec B::

donc on aura ces deux analo

RR RR

cof A cof B

:: cof B: cof A.

THEOREME IV.

18. Soient divifés l'arc AM & fon complément BM en deux parties égales aux points K &k, & foient tirées les lignes CKI, CkL jufqu'à ce qu'elles rencontrent les tangentes AT & Bt prolongées, autant qu'il fera néceffaire, en 1& L; je dis que l'on aura 1o, sec A = cot comp. Atang A; 2°, cofec A=cot A-cot A.

DEMONSTRATIO N.

Les triangles rectangles CBo & CAL étant femblables à caufe des paralleles, on aura l'angle ALC = l'angle BCo; mais BCo o CM (par conftruction ). Donc le triangle CTL eft ifofcele, donc on aura LTCT; mais LTAL AT cot comp AM & AT tang AM; donc 1°, CT ou fec A =cot comp A tang A. C. Q. F. 1°, D.

2. Les triangles CAO & CBI rectangles étant femblables à caufe des paralleles CA & Bl, on aura l'angle BIC ACO; mais ACO = MCO (par conft. ) donc le triangle Ctl eft ifofcele; donc la cofécante Cttl; de plus il eft vifible que tl Bl-Bt cot A cot A. Donc auffi la cofécante Ct de l'arc AM est égale à cette même quantité. C. Q. F. 2° D.

THEOREME V.

19. Du point M aux extrémités b, a (fig. 3) des diametres Bb, Aa; foient menées les lignes Mb, Ma que

coupent les rayons CA & CB aux points G& g; foit de plus mené par le même point M la perpendiculaire MT terminée aux rayons CA & CB prolongés, autant qu'il fera néceffaire, en 8 & T, & fur lesquels elles déterminent les lignes Co & Cr respectivement égales à la fécante & à la cofécante de l'arc AM: Cela pofé, je dis que l'on aura 1o, fecant Atang A+tang comp A. 2°, 14 cofec A= cot A + tang 1⁄2 A.

DÉMONSTRATION.

L'angle ¿Me étant formé par une tangente Me & par la corde Mb, a pour mefure la moitié de l'arc MAb compris entre fes côtés ; & l'angle MG8 qui a fon fommet au dedans de la circonférence, a pour mesure la demi-fomme des arcs ab, AM compris entre fes côtés, mais ab Ab; ainfi cet angle eft égal à l'angle GM, donc le triangle GoM eft ifofcele, & par conféquent Ge

Metang A. De plus, l'angle CbG étant à la circonférence n'eft que la moitié de l'angle BCM qui a fon fommet au centre, & qui eft appuyé fur le même arc; donc fi on regarde le rayon Cb comme le finus total, CG fera la tangente du demi-complément de l'arc AM; donc la fec CCG G6 tang comp A+ tang + A. C. Q. F. 1°, D.

=

2o. On prouvra précifément de la même maniere que gr=MTcot A, & que Cg=tang A. D'ailleurs il eft vifible que Cr cofec A; donc on aura Ст cofec Acot A+ tang A. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

I

20. Il fuit des deux théorêmes précédents que l'on aura 1o, cot comp A. tang Atang comp A+ tang. A. 2o, Cot A-cot Acot Atang A; en comparant les deux expreffions des fécantes & cofécantes de l'arc AM; d'où il fuit qu'on aura auffi 2 tang A = cot comp A tang comp A; & encore 2 cot A