43. Si l'on fuppofe que l'arc A foit infiniment-petit, on aura fin AA & cof Ar ou 1. Pour que l'arc nA devienne d'une grandeur finie, il faudra que n devienne infiniment-grand; ce qui réduira les produits de nxn-1; nxn2; &c. aux puiffances n2, n3. &c. Si l'on fait l'arc nAc à caufe que fin A= A, dans notre fuppofition A = -; on aura fin2 A = &c. ainfi des autres puiffances de fin A, tandis que toutes les puiffances de cof A feront égales à l'unité; ainfi l'on aura de nouvelles formules au moyen defquelles il fera facile d'exprimer le finus ou cofinus en parties de l'arc, ou en décimales du rayon.

C

n

S. Premiere formule.

c2

n

On voit que ces formules donneront le finus & cofinus

d'autant plus rapidement qu'elles feront plus convergentes, ce qui arrivera fi l'arc défigné par c eft d'un petit nombre de degrés. Il y a encore plufieurs fuites femblables. On fe fert de ces fuites pour calculer les finus & cofinus naturels d'un arc quelconque. (Voyez l'expofition du calcul aftronomique de M. de la Lande, page 21).

PROBLEME VI.

44. Trouver la tangente de la fomme ou de la différence de deux arcs donnés A & B.

SOLUTION.

Soient AM & AN (fig.6.) les arcs donnés dont AG & AL font les tangentes, que nous défignerons par t & 0: il eft vifible que la ligne NT perpendiculaire à l'extrémité du rayon CN fera la tangente de la fomme de ces deux arcs; nous la défignerons par T; & ces fuppofitions nous ferons trouver la tangente de la fomme de deux arcs quelconques A & B. Pour avoir celle de la différence,nous regarderons l'arc MN comme A, & l'arc AM comme B; AL fera la tangente de la différence des arcs A & B; nous la nommerons T. Soient encore abaiffées les perpendiculaires AQ, GP au rayon CN. Cela pofé,à cause des triangles femblables CŔN, CAQ, l'on aura CR RN: CA: AQ ou V Tr+00: 0 ::r:

rr+00

; de même à caufe des triangles femblables AQL, GPL, on aura AL: AQ:: GL: GP ou 8:

encore évident, à caufe des triangles femblables AQL,

GPL que AL: QL:: GL: PL ou que 0:

00

V rr +00

; donc CP ou CL-PL

V rr + 00

t+0x0 Vrr +00 Au moyen des expreffions que nous venons de trouver, il eft aisé d'avoir celle de la tangente NT; car à caufe des triangles femblables CPG, CNT on aura CP: PG ::

CN: NT & analytiquement

r:

rxe+t rr-et

rr-et

V rr +00

=tang (A+B) d'où l'on

le rayon égal à l'unité tang (A+B) = C. Q. F. 1°, T.

rxe+t

Vrr +00 tire en faifant

tang A+ tang B

1-tang Axtang B

2o. Pour avoir la tangente de la différence de deux angles, on se servira de l'équation que nous venons de trouver Trr x o + i ; & traitant l'une des tangentes

rr-et

out comme inconnue, on aura la tangente de la différence de deux arcs. Les regles ordinaires nous donnent rrx(T-4) ; donc en faifant le faifant le rayon égal à l'unité

tou T

rr + T

tang A-tang B = 1+tang Axtang B

45. On auroit pu trouver ce même résultat fans aucune conftruction géométrique par le moyen des formules déja données, comme il fuit. Soit S la fécante de A, & s celle de B. On aura par les propriétés connues des finus, cofinus, tangentes & fécantes, fin A cof A =”1⁄2, & de même fin B=" & cof B="; fubftituant ces valeurs dans celles de fin (A+B) on aura

fin

(A+B)=rxT+ & fin (A — B)
(AB):

S s

on trouveroit de même cof (A+B) =
(A—B) =rx(rr+T;); donc à cause que tang =

on trouvera comme ci-deffus tang (A+B)=rxT+r

& tang (A-B)

rx (T-i)

rr-Ti

COROLLAIRE I.

46. Tang (A+B)× tang (A—B)=

(tang1A-tang B)×r3

2

rr-tang Ax tang' B

(tang A+ tang B) × (tang A-tang B) r3
(r2+tang Axtang B) x (r2- tang Axtang B)

COROLLAIRE II.

47. Si l'un des angles eft de 45° on aura tang A+

45°

que

=

I+tang Ax r
I- tang A

rr

tang (45°- A)

Car on trouvera

fur le champ que le rayon eft moyen proportionnel entre tang (45°+A) & tang (45°-A). D'où il fuit fi l'on a calculé les tangentes des angles au-deffous de 45°, on aura toutes les tangentes des angles au-deffus de 45° par une fimple divifion. Et fi l'on a calculé les logarithmes des mêmes tangentes, on aura pareillement les logarithmes des tangentes des arcs au-deffus de 45° en ôtant le logarithme de la tangente trouvée du double logarithme du finus total. Ce Corollaire fait voir comment on a pu conftruire aifément les tables des tangentes & de leurs logarithmes.

COROLLAIRE III.

48. Tant que les angles A & B feront tels que leur fomme foit moindre que 90°, l'expreffion de tang (A+B) fera pofitive. Si l'on fuppofe que tang Ax tang Brr, ce qui arrive, lorfque les angles font compléments l'un de l'autre, le dénominateur devenant zéro nous avertit que cette tangente n'a plus d'expreffion finie. Enfin lorfque tang A x tang B eft plus grand que rr, ce qui a lieu, lorfque les deux angles font enfemble un angle obtus, l'expreffion de la tangente devient né

gative; ce qui avertit que cette tangente doit fe pren dre dans un fens oppofé.

COROLLAIRE IV.

49. Si l'on fuppofe que les arcs A & B foient égaux, & qu'on imagine une fuite d'arcs A, 2A, 3A, 4A, &c, multiples du premier, il fera facile d'en trouver les tangentes au moyen de la formule tang (A+B) = tang A+ tang B

rr-tang A. tang B, en regardant toujours la derniere tan-
gente trouvée comme tang A, & faifant toujours B=
l'arc fimple A, dont on cherche les multiples; fuivant
ce procédé on formera aisément la table suivante.
Tang A=T.

D'où il est aifé de déduire laformule générale fuivante, en obfervant la loi des coefficients pour un arc multiple quelconque, & faifant le rayon égal à l'unité.

Pour abréger l'expreffion de cette formule, ainfi que toutes celles que nous avons données jufqu'ici, on peut faire attention que chaque coefficient renferme toujours celui du terme qui le précéde; ainfi représentant ces coefficients par les lettres indéterminées A, B, C, D,&c.

pour