Imágenes de páginas
PDF
EPUB

pour le numérateur a, b, y, d, &c; pour le dénomina teur la formule précédente pourra s'exprimer comme on

le voit ici.

[merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

n-2.n-3 T4-B.
3.4

n-4.n-5
5.6

n-6.n-7

[ocr errors]

8- &c.

8.9

5o. Si l'on veut exprimer les tangentes des arcs multiples en commençant par le plus haut terme ou la plus haute puiffance de T, on verra aifément qu'il faut deux fuites ou formules générales, l'une pour les nombres impairs & l'autre pour les nombres pairs. De plus à caufe les plus hautes puiffances impaires font alternativement pofitives & négatives, on aura les deux fignes + devant la tangente multiple.

que

[blocks in formation]

T

n.n-I

T

[ocr errors]

n-4.n-5

T-6 &c.

I. 2

Tang.nА=

nT

[ocr errors]

n- 3.n-4-5 n-5.n-6

I.2.3

6.7

Seconde formule pour n, fuppofe un nombre pair

quelconque.

[ocr errors]

-TR-7&c.

4.5

[merged small][ocr errors][subsumed][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

n-2.n-3n-4-4. n- 5 n-6
T2

51. Si l'on veut faire entrer les cotangentes dans l'expreffion des tangentes d'arcs multiples, la table précédente fe changera facilement en celle qui fuit, en met

RR

tant cotangente à la place de D'où il sera égale

T

ment facile de former une autre table pour les cotangentes des arcs multiples.

C

[blocks in formation]

Cot. 4A=

·Cot. 5A=

Cot. 6A=

3r2-tang' A

r2 cot A-6r tang A+ tang3 A

4r2-4tang' A

r2 cot A-1or tang A+ 5 tang3 A

5r2-10 tang2 A+ tang+ A

cot A-15 r tang A+ 15 r' tang3 A - tang3 A 6r+ - 20 r2 tang2 A + 6 tang↑ A

[merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

en faifant le rayon égal à l'unité; parce qu'en faifant paroître le rayon il eût fallu deux fuites pour exprimer les cotangentes d'arcs multiples, fuivant que n feroit un nombre pair ou impair.

52. Il eft encore vifible que l'on pourroit appliquer aux cotangentes d'arcs multiples les deux dernieres formules générales, en commençant par les termes de la plus haute puiffance, puifque les coefficients font toujours les mêmes. On peut encore fe fervir des formules précédentes, pour transformer des puiffances de tangentes en tangentes d'arcs fimples & d'arcs multiples. Ainfi l'on formera aifément la table fuivante. par de fimples fubftitutions; en fuppofant T', T" T"" défignant les tangentes des arcs multiples. Que

ΤΙ

T3

T4

T.

TH- 2T
T

3T"/T+6T/T + 2T/// T//

[ocr errors]

- 1 2TT// — 24TT/// + 8T// T///_T/~— I 2TT/V + 6T//T/" TT

Il en feroit de même des autres puiffsances.

COROLLAIRE.

53. Il fuit encore delà que pour avoir toutes les tangentes depuis zéro de degrés jufqu'à 90°, il fuffit de les trouver jufqu'à 30°. Car fi l'on nomme B un arc de cercle moindre que 30°, & que l'on ait A30°-B. On aura auffi 2A=60°- 2B.& cot 2A=tang (300+2B). Donc à caufe de la formule cot 2A= cot A-tang A

[merged small][ocr errors][merged small]

on

cot ( 30°-B) - tang (30' —B)

2

d'où l'on voit comment il a été facile de diminuer finguliérement le calcul des tables des tangentes, comme nous avons déja fait voir fur les finus & cofinus.

PREMIER SCHOLIE.

54. Non-feulement on peut trouver par les formules que nous avons donnés dans les fuites générales précédentes, les finus, cofinus, tangentes & cotangentes d'arcs multiples;mais on peut encore en faire ufage pour trouver les finus, cofinus &c. d'un angle ou d'un arc fous-multiple dans tel rapport que l'on voudra; mais alors on aura des équations de différents degrés à réfoudre, ce qui peut apporter de très-grands avantages dans la réfolution de ces équations par le cercle; puifque les tables des finus étant toutes dreffées, contiennent auffi les racines de ces équations par exemple, fi l'on veut divifer un arc en trois ou en cinq parties égales par le moyen de fon finus ou de fon cofinus, on n'aura qu'à faire fin. nAa, & cof. nA = b; enfuite on n'aura qu'à traiter s & c comme inconnues en les défignant par x &y, les formules B & D donneront les équations fuivantes. 4x3-3r2x + ar2=0&4y3-3r2y+br2b-o. De même fi l'on nomme cla tangente nA, la tangente de l'arc fimple défignépar A, & qu'on faffe n=3; la formule de l'article 49, donnera l'équation fuivante q3 - 3cz2 — 3r2z + rc2 =0; qui toutes, comme on le voit, font du troifieme

degré, ce qui fait voir que le problême de la trifection de l'angle est toujours folide de quelque maniere que l'on s'y prenne pour le réfoudre on tombera toujours dans des équations finies, tant que n fera un nombre entier ou commenfurable. Pareillement fi l'on cherchoit par les cotangentes en faifant cot. nAd & cot Au, on trouveroit encore cette équation, u3 + zu2d + dru 3r3 qui ne differe de la derniere que par les

373

fignes.

[ocr errors]

SECOND SCHOLIE.

55. Pour éviter la confufion, nous avons fupprimé dans la plupart des formules précédentes les variations dont elles font fufceptibles,eu égard aux changements des fignes; mais au moyen des réflexions fuivantes on fera toujours à portée de connoître ce qu'ils indiquent, lorfqu'ils pourront avoir lieu. Soit donc l'arc AM (fig.7)que nous fuppofons moindre que 90°; fi l'on regarde comme pofitifs fon finus MP, fon cofinus CP, fa tangente AT & fa cotangente BR; on verra que le finus & la tangente de l'angle obtus ACm ou de l'arc Am feront encore pofitifs, parce qu'ils confervent la même fituation à l'égard du diametre AD; mais le cofinus Cp & la cotangente Br deviennent négatifs, parce qu'ayant la même origine ils s'étendent dans des directions oppofées à celles qu'avoient ces mêmes lignes, lorfqu'elles étoient rapportées à l'angle aigu. Si l'arc AM devient Amu, le finus, la tangente, le cofinus & la cotangente deviennent tous négatifs, tant que cet arc eft plus grand que 1800 & moindre que 270°. Enfin s'ils paffent les trois quarts du cercle, on verra aifément que le finus & la tangente deviennent négatifs, tandis que le cofinus & la cotangente redeviennent pofitifs. Comme dans les calculs trigonométriques on n'employe jamais que des angles droits obtus ou aigus; toutes les confidérations des fignes fe réduifent à examiner dans quel cas les formules dont on fait

ufage, indiquent un angle obtus ou aigus. D'après nos fuppofitions fi l'on trouve que l'expreffion d'un cofinus ou d'une cotangente devienne négative, cela indique que l'angle auquel ces lignes appartiennent, eft obtus.

Préparation aux Théorêmes fuivants.

[ocr errors]

56. Soit PE (fig.8) l'arc que nous avons défigné par A & PB celui que nous avons nommé B. Du point B foient tirées les lignes BK & BH refpectivement perpendiculaires aux lignes DE & CP. De plus ayant mené les lignes BE & BO aux extrémités de la corde EO foient encore abaiffées fur ces lignes les perpendiculaires CT, CR terminées à la tangente RBT; cette conftruction bien entendue on verra 1° que l'arc BO A+B. 2o que = BE AB. 3o que KO= fin A+ fin B; 4° que KE=fin A-fin B. 5o que KM = cof B + cof A, & que 6° KB cof A. 7° que BT tang (A+B); 8° que BR = tang (A-B). 9° que AL-fin (A+B) & CL=cof(A+B). 10° que BF=fin (A-1B) & CF cof (A-B). 11°. que OM2CF=2c0f (AB). Car l'arc MÓ MN+NO; mais NO 180° Á & MN A

ΜΟ

Donc =

2

[ocr errors]

cof B

[ocr errors]

ΚΟ

So

=

=

B.

= fin (90°— A + B), donc MO = 2cof(AB). 12° on fera voir de même. que ME= 2CL=2cof(A+B). Cela pofé, les Théorêmes fuivants n'auront aucune difficulté.

THEOREME VII.

57. Suppofant toutes chofes comme dans la conftruction précédente je dis que l'on aura 1° fin A+fin B = ; 2fin (A+B) x cof(A — B). 2o que fin A— fin B=2cof(A+B) × fin ( A — B).

2

DEMONSTRATION.

Les triangles rectangles MKO, CLA font évidemment femblables à caufe que l'angle en M du premier eft

« AnteriorContinuar »