2. Les angles de ce même triangle font fuppléments des côtés du triangle ABC; car puifque les arcs AL & BG font de 90°, on aura AL + BG ou GL+AB= 180o, mais GL eft la mesure de l'angle en D (no 122). Donc AB eft fupplément de l'angle EDF; on prouveroit de même que AC & BC font fuppléments des angles en E & en F; donc tous les angles du triangle DEF font fuppléments des côtés oppofés du triangle BAC. C. Q. F. 2°, D.

132.

SECONDE SECTION.

De la Refolution des Triangles fphériques rectangles. Préparation aux Théorêmes fuivants. (fig. 12). Sort une pyramide GBPQ composée de quatre triangles rectangles GBQ, GBP, GPQ, BPQ; & foient AB, AC, & BC trois arcs de cercle décrits du centre G avec le rayon GB; il eft vifible que ces trois arcs de cercles formeront un triangle fphérique BAC rectangle enA, à caufe que les plans GPQ, GBP font perpendiculaires l'un à l'autre. En faifant le rayon égal à l'unité, on trouvera aifément les valeurs contenues dans la Table fuivante pour toutes les parties de ce même triangle. Il fuffit , pour les découvrir, de fe rappeller que tang = fin cof, que cot

RR

tang.

1o. L'arc BC ou l'angle QGB

cof

fin

& l'on trouvera que

BQXGP GPXBQ

BPxGQ
PQXBG

133. Pour démontrer toutes ces expreffions, il fuffira de démontrer la premiere ligne feulement. Je prends à cet effet une ligne quelconque GR que je regarde comme le finus total des tables, & ayant abaiffé RS perpendiculaire à GB, il eft vifible que cette ligne fera le finus de l'arc BC, & GS fera le cofinus du même arc. Cela pofé, les triangles femblables GRS, GQB donnent les deux proportions fuivantes GQ: QB:: GR (1): RS= QB fin BC= & GQ: GB:: GR (1): GS cof BC= GQ D'où l'on tire fur le champ tang

GB

GQ

=cof BQ BC= & cotBC

BG

BG Les autres valeurs fe démontrent précisément de

BQ

&

la même maniere. Pour démontrer les Théorêmes fuivants, il fuffira de fubftituer dans chacun en particulier les valeurs des termes de chaque proportion à démontrer, l'on trouvera par-tout une égalité parfaite entre le produit des extrêmes & celui des moyens.

THEOREME I.

134. Dans un triangle sphérique quelconque rectangle BAC, le finus total eft au finus de l'hypoténufe, comme le finus d'un angle eft au finus du côté qui lui eft oppofé; & réciproquement. (fig. 13).

N. B. C'est par ce Théorême qu'on a trouvé les expreffions du finus & cofinus de l'angle BCA, ainfi que celle de fa tangente & cotangente.

THEOREME II.

135. Dans un triangle sphérique rectangle on aura toujours, le rayon eft au cofinus d'un angle,comme la tangente de l'hypoténufe eft à la tangente du côté adjacent à cet angle; c'eft-à-dire, que R: cof B: tang BC: tang AB; ou R: cofC:: tang BC: tang AC.

THE ORE ME III.

136. On aura de plus dans tout triangle rectangle, le finus total eft au cofinus d'un des côtés, comme le cofinus de l'autre côté eft au cofinus de l'hypoténufe, ou ce qui revient au même R: cof AB:: cof AC : cof BC.

THEOREM E IV.

137. On aura encore, le rayon eft au finus d'un angle, comme le cofinus du côté adjacent eft au cofinus de l'autre angle; ou R fin B ou fin C:: cof AB ou cof AC: cof C ou cof B.

THEOREME V.

138. Le rayon eft au finus d'un côté, comme la tangente de l'angle adjacent à ce côté eft à la tangente de l'autre côté, ou R:fin AB:: tang B: tang AC: ou R:fin AC:: tang C: tang AB.

139. Le rayon eft à la cotangente d'un angle, comme la cotangente de l'autre angle eft au cofinus de l'hypoténufe; ou ce qui revient encore au même, le rayon eft au cofinus de l'hypotenuse, comme la tangente d'un angle eft à la cotangente de l'autre angle. Ou R: cot B:: cot C: cof BC; ou encore R: cof BC: : tang B: cot C:: tang C: cot B.

COROLLAIRE I.

140. Il fuit du Théorême fecond que fi deux triangles fphériques rectangles ont un côté commun, les tangentes des hypoténufes font en raifon inverfe des cofinus des angles adjacents à ce même côté.

COROLLAIRE II.

fi

141. Il fuit de même du troifieme Théorême que deux triangles fphériques rectangles ont un côté commun,

les cofinus de leurs hypoténuses font comme les cofinus

des côtés non communs.

COROLLAIRE III.

142. Il fuit auffi du quatrieme Théorême que fi deux triangles rectangles ont un côté commun, les cofinus des angles oppofés à ce côté font entr'eux comme les finus des angles adjacents.

COROLLAIRE IV.

143. Il fuit auffi du cinquieme Théorême que fi deux triangles rectangles ont un côté commun, les finus des côtés non communs font réciproquement comme les tangentes des angles fur les côtés.

COROLLAIRE V.

144. Enfin fi deux triangles fphériques rectangles ont un angle commun, les finus de leurs hypoténufes font comme les finus des côtés oppofés à l'angle commun, & les tangentes des mêmes côtés font comme les finus des côtés adjacents à l'angle commun. Ces vérités fe déduifent immédiatement la premiere du premier Théorême, & la feconde du cinquieme.

SCHOLIE.

145. Ces fix Théorêmes fuffifent pour réfoudre tous les cas poffibles des triangles fphériques rectangles, comme on peut s'en convaincre par la Table que nous joignons ici; néanmoins comme il y auroit encore quelque difficulté à les retenir, & qu'il feroit dangereux de les confondre, nous ajouterons encore le Théorême de Neper qui les réduit tous à deux cas généraux dont on peut fe fouvenir bien plus aifément, pourvu que l'on ait bien entendu les définitions fuivantes, qui font abfolument néceffaires pour fon intelligence.

DEFINITIONS.

146. Lorfque trois parties d'un triangle font tellement difpofées que deux d'entr'elles touchent immédiatement la troifieme, ou n'en font féparées que par l'angle droit, ces deux parties fe nomment Adjacentes à la troifieme que l'on nommera partie moyenne.

147. Lorfque trois parties d'un triangle rectangle font tellement difpofées qu'entre l'une des trois que nous regarderons toujours comme moyenne & chacune des deux autres, il fe trouve toujours une autre partie du même triangle ; ces deux parties feront nommées parties féparées. L'angle droit eft cenfé ne point féparer les parties entre lefquelles il fe trouve. Cela pofé.

THEOREME GÉNÉRAL.

148. Dans un triangle sphérique rectangle fi l'on fubftitue aux côtés de l'angle droit les compléments de ces côtés, on aura dans tous les cas, le produit du finus total par le cofinus de la partie moyenne égal au rectangle des cotangentes des parties adjacentes, ou au rectangle des finus des parties féparées.

DEMONSTRATION.

On a eu foin de détailler dans la table pour les réfolutions des triangles rectangles, tous les cas du Théorême présent, en défignant par un A les cas qui ont rapport aux parties adjacentes, & par une S ceux où les parties font féparées. Ainfi la vérité du Théorême générale eft démontrée par celle des Théorêmes particuliers correfpondants aux mêmes cas. On peut néanmoins le démontrer directement par la table du n°. 132, en