DEMONSTRATION. Dans le triangle BAC l'on a (no. 159. art. 3°.) tang B: tang C:: fin CD: fin BD; donc on aura addendo & detrahendo, tang B+tang C: tang B-tang C:: fin CD+fin BD : fin CD- fin BD; mais le premier rapport eft égal à celui de fin (B+C) à fin (B-C) (no. 88), & le fecond rapport eft égal à celui de tang (BD+CD) à tang (BD-CD) (n°.96). Donc en fubftituant ces rapports aux précédents, & mettant tang BC à la place de tang (BD+CD), lorsque la perpendiculaire tombe au dedans, & tang BC à la place de tang 2 (BD - CD), lorsqu'elle tombe au dehors; l'on 2 aura pour les deux cas. Sin (B+ C): fin (BC):: 2 2 tang (BC):tang (BD-CD)::tang (BD+CD):tang (BC) :: cot BC: cot (BD+CD) C. Q. F. 1°. D. 2 2o. Dans le même triangle on aura encore par le fecond article du même n°. 159) tang AB: tang AC :: cof CAD cof BAD; donc addendo & detrahendo tang AB+tang AC: tang AB tang AC:: cof CAD +cofBAD: cof CAD cofBAD, mais (art. 96) le premier rapport eft égal à celui de fin (AB+ AC) à fin (AB—AC) & (n°. 101.) le fecond est égal à celui de cot (BAD-CAD) à tang BAD + CAD CAD). Donc en sub à la place de 2 BAD + CAD 2 2 ftituant ces rapports aux précédents, & mettant BAC lorfque la perpendiculaire tombe au dedans du triangle, & BAC à la place de BAD-CAD ;lorfqu'elle tombe au dehors,on aura pour les 2 deux cas: 2 (BAD Sin (AB +AC): fin (AB-AC): : cot BAC: tang 179. On voit aifément que la premiere partie du Théorême fert à réfoudre un triangle fphérique, dans lequel on connoît un côté & les deux angles adjacents; en le réduifant d'abord à deux triangles rectangles dans chacun defquels on connoîtra un côté & l'angle adjacent. Cette premiere partie ferviroit au même usage dans un triangle rectiligne; mais elle devient inutile pour la réfolution des côtés du triangle qui fe trouvent plus aifément par l'analogie connue entre les finus des angles & les côtés oppofés. Le feul cas où ce Théorême peut être d'ufage dans la Trigonométrie rectiligne, feroit celui où l'on voudroit trouver les fegments de la bafe. En fuppofant que cette bafe eft connue & les deux angles adjacents; alors pour avoir les fegments de la base, on feroit cette analogie. Le finus de la fomme des angles fur cette bafe eft au finus de leur différence, comme la moitié de la bafe eft à la demi-différence ou à la demi-fomme des Segments de cette bafe, felon que la perpendiculaire tombe au dedans ou au dehors. La feconde partie du même Théorême a lieu dans le cas où l'on connoît deux côtés & l'angle compris; & fert encore à réfoudre le triangle en deux triangles rectangles, dans chacun defquels on connoîtra l'hypoténufe & l'angle adjacent. Ce même cas peut auffi s'appliquer au cas femblable des triangles rectilignes, & fait trouver les fegments de l'angle vertical, en fubftituant AB+ AC & AB-AC au finus de ces mêmes quantités. La regle ordinaire n'eft gueres plus fimple que celle-ci. THEOREME III. 180. Je dis de plus que l'on aura toujours les deux proportions fuivantes dans un triangle fphérique quelconque BAC. 1o. Le 1°. Le finus de la demi-fomme des côtés eft au finus de leur demi-différence, comme la tangente du demicôté adjacent à ces angles eft à la tangente de la demidifférence des côtés oppofés, ou, ce qui revient au même, C-B fin (C+B): fin (C= 2 ::tang BC: tang (AB-AC). 2 2°. Le cofinus de la demi-fomme des angles fur un côté eft au cofinus de la demi- différence des mêmes angles, comme la tangente du demi - côté adjacent eft à la tangente de la demi-fomme des côtés ou bien cos (C+B): cos(CB) :: tang BC: tang (AC+AB). DEMONSTRATION. 2 Nous avons vu au Théorême second que fin (C+B): fin (C—B) : : tang BC: tang (BD-CD). Mais C+B 2(C+B) & C_B=2(C). D'ailleurs par la for 2 C 2 mule fin 2A=finAx 2cof A (no.72) on aura sin (C+B) 2fin (C+B) x cos (C+B), & de même pour fin 2 2 de C-B, ce qui changera notre premiere proportion dans la fuivante, après avoir divifé le premier rapport par 2 ; fin (C+B) × cos (C+B): fin (C=B) × cof 2 2 2 (CB): :: tang BC: tang BD - CD). De plus à cause 2 2 que dans un triangle sphérique quelconque les finus des angles font entr'eux comme les finus des côtés oppofés, on aura fin C: fin B: : fin AB: fin AC; donc addendo & detrahendo fin C+ fin B: fin C-fin B:: fin AB + finAC: fin AB- -fin AC. Préfentement fi l'on fubftitue à ces rapports leurs égaux indiqués aux art. 92, 93 & 96, la proportion deviendra celle-ci. Sin (C+B) x cos (CB): cof(C+B)× fin (C-3) × (C=3): 2 2 :: tang (AB+AC): tang (AB-AC). 2 2 Multipliant cette proportion par celle que nous avons trouvée plus haut, on trouvera après avoir effacé ce qui fe détruit. C+B Sin2 (C÷±3) : fin2 (C=B) :: tang BC × tang 2 2 (AB+AC): tang (BD-CD) x tang (AB-AC). Enfin fi 2 2 2 l'on multiplie les antécédents de la proportion alterne du premier Théorême par tang par tang (ABAB+ AC) & les conféquents par tang BD 2 -CD), on trouvera cette derniere pro 2 portion tang BC × tang (AB÷AC) 2 : tang (BD-CD) 2 2 X tang (AB-AC) :: tang (AB+AC)::tang (BD-CD). × 2 2 2 Donc puifque cette proportion & l'avant derniere ont un même rapport; en concluant du premier au dernier,on trouvera cette analogie. Sin2 (C+B) : fin2 (C-3) :: tang2 (AB+AC): tang 2 2 2 2 BD-CD); & tirant les racines fin (C+B): fin 2 (CB) :: tang (AB+AC): tang (BD-AD) 2 :: tang BC: tang (AB-AC), par le même Théorême premier; 2 d'où fuit évidemment la vérité de la premiere partie du Théorême. On prouveroit par un calcul femblable que cof (C+B): cos (CB) ::tang BC; tang (AB+AC); 2 2 2 toute l'adresse du calcul fe réduiroit à difpofer les deux SPHERIQUE. 83 proportions que nous avons multipliéés l'une par l'autre, de maniere qu'on eût les quarrés des cofinus des quantités C+ B & C - B. Ce qui ne fouffre aucune difficulté, d'où fuit la vérité du fameux Théorême de Néper dans l'un & l'autre cas. C. Q. F. D. SCHOLI E. 181. Il est aisé de voir que ce Théorême fert à trouver en même temps les deux côtés d'un triangle fphérique quelconque, dans lequel on connoît les deux angles fur la bafe auffi connue. Il ferviroit pareillement à réfoudre le même cas de la Trigonométrie rectiligne, en fubftituant la bafe & la fomme, ou la différence des côtés, à la place des tangentes de ces quantités. On remarquera de plus que notre démonstration amene encore deux Théorêmes qui méritent quelque attention. Le premier peut s'énoncer ainfi. Dans un triangle fphérique quelconque, le finus de la demi-fomme des angles eft au finus de leur demi-différence; comme la tangente de la demi-fomme des côtés oppofés eft à la tangente de la demi-différence des fegments de la bafe. Et le fecond par cette autre analogie. Le cofinus de la demi-fomme des angles fur la bafe eft au cofinus de la demi - différence des mêmes angles comme la tangente de la demi-différence des côtés oppofés eft à la tangente de la demi-différence des mêmes fegments de la bafe. Il fuit encore du Théorême, & de ce que dans un triangle rectiligne la fomme des trois angles eft égale à deux droits, que l'on aura ces deux analogies générales. 1°. Le finus du demi-angle vertical eft au cofinus de la demi-fomme ou de la demi-différence des angles; comme la bafe ou le côté oppofé à'cet angle eft à la difference ou à la fomme des deux autres côtés; c'est-à-dire que fin 1⁄2 A: cos (C±3) : :: BC: ABAÇ. 2 |