de la Géométrie,peuvent n'étudier que ce Chapitre feul,& paffer tout de fuite au fixieme,où j'ai réuni quelques exemples en nombres relatifs aux différents cas, pour montrer aux Commen çants la maniere de pratiquer les formules fur les Logarithmes.

Le troisieme Chapitre a pour objet les folutions géométriques ou graphiques de différents cas que l'on vient de réfoudre par analogies. Je me fuis fervi de préférence des projections ortographiques, dont les Aftronomes fuppofent à chaque inftant une Théorie complette. J'y ai joint auffi quelque chofe fur les projections ftéréographiques, à caufe de leur grand ufage dans les cartes de Géographie ; enfin je donne encore une autre folution facilement applicable à tous les cas, & déduite du développement des parties du triangle à réfoudre.

Le quatrieme Chapitre n'eft qu'une application de l'analyfe algébrique aux conftructions géométriques du Chapitre précédent. C'eft dans cette partie qu'à l'aide du calcul on épuise en quelque forte toutes les folutions particulieres à chaque cas. Toutes les analogies du fecond Chapitre fe déduifent par de fimples

fubftitutions; une foule de nouvelles formules fe joignent à celles que l'on connoiffoit déja. On peut, fans craindre de s'égarer, commencer par les cas les plus généraux, en fuivant une route oppofée à celle qu'on avoit tenu jufqueslà. On arrive auffi à des folutions, qui d'abord paroiffent effentiellement différentes de celles

qui ont été trouvées pour les mêmes cas. Une expreffion fort compliquée d'un problême affez fimple feroit prefque fupçonner une mal-adreffe dans les folutions algébriques; mais on en découvre bien-tôt l'accord & l'identité, & l'on en déduit des pratiques heureuses de conftruire de la maniere la plus fimple des expreffions, affez difficiles. Comme on peut fouvent trouver dans différentes queftions aftronomiques des formules femblables à celles que l'analyfe nous a fait découvrir, j'enseigne la maniere de ramener les plus compliquées aux Logarithmes. Je donne enfuite la folution des équations du fecond & troifieme degré par les Tables des Sinus; ce qui peut être de la plus grande commodité, lorfque l'on ne doit point efpé- ́ rer de racines commenfurables. Les réfolutions du troisieme degré m'ont été communiquées par un Magiftrat déja connu avantageufement par différents Ouvrages, & moins eftimable encore par fes connoiffances profondes que par l'excellence de fon caractere. Je lui dois auffi la folution nouvelle du Problême du plus court crépuscule que j'ai inferé dans le cinquieme Chapitre qui fuivra celui-ci.

Cette partie de l'Ouvrage n'eft autre chose qu'une traduction de l'excellent morceau de M.CÔTES,intitulé: De æftimatione errorum in mixtâ Mathefi, c'est une application de l'analyse moderne ou du calcul des fluxions à l'une & à l'autre Trigonométrie. J'ai déduit tout ce qui a rapport aux triangles rectilignes des formules des

triangles fphériques, afin de fimplifier encore la Théorie, & d'abréger, le plus qu'il m'étoit poffible,un Ouvrage qui devenoit beaucoup plus long que je ne m'étois propofé d'abord. Cette Théorie eft fuffifamment éclaircie par des applications à différents exemples en nombres.

Le fixieme Chapitre n'eft qu'une collection de différents problêmes d'Aftronomie sphérique, pour montrer la maniere d'appliquer ou de conftruire par les Logarithmes les différentes formules des Chapitres précédents. J'ai cru qu'il feroit plus agréable d'appliquer ces folutions à des dénominations ainfi déterminées, que de réfoudre des triangles, pour ainfi dire, abftraits. Comme les principes de la sphere font fuffisamment connus de la plupart des jeunes gens qui ont fait une bonne Philofophie, je me fuis permis de faire différentes applications foit des conftructions géométriques, foit des folutions numériques aux principaux cercles de la sphere; & c'eft ce qui m'a déterminé à donner à cet Ouvrage le titre de Principes d'Aftronomie fphérique.

Pour rendre encore la pratique des calculs plus fimple & plus facile, j'ai fait joindre à ce Traité trois Tables qui renferment le précis de l'Ouvrage entier, au moins quant à la pratique la plus ordinaire. Au lieu de défigner les parties des triangles à réfoudre par des lettres, j'ai mieux aimé les exprimer par les données mêmes du Problême; ce qui m'a paru plus commode, & moins fujet à erreur dans les calculs.

La premiere Table eft pour la réfolution des triangles fphériques rectangles: la feconde pour les obliquangles: la troifieme eft auffi deftinée à la réfolution des cas des triangles obliquangles; mais par les analogies de NÉPER, elle s'applique également aux triangles rectilignes quelconques. Elle peut avoir de plus ce grand avantage, que par la parfaite analogie qui regne entre ces deux efpeces de Triangles pour les réfolutions des cas femblables: on peut apprendre la Trigonométrie fphérique en un quart-d'heure, lorfqu'on fait déja les proportions pour les triangles rectilignes.

Il me reste à dire un mot du motif qui m'a déterminé à entreprendre ce petit Traité. Ayant été dans le cas d'enfeigner les Eléments d'Aftronomie de feu M. l'Abbé DE LA CAILLE, le petit Traité de Trigonométrie qui eft à la tête de fon Ouvrage, m'a donné l'idée de celui que je publie aujourd'hui. Comme un grand nombre des formules qu'il a données, fe trouvent fans démonftration, & que les Commençants aiment toujours d'affûrer leur marche dans l'étude des vérités Mathématiques ; j'ai cru me rendre utile en leur donnant un fecours dont la plupart ne peuvent fe paffer.

Il y a plus, ce Traité étant le feul qui réunit les différentes efpeces de folutions dont je viens de parler, fi l'on en excepte les folutions. géométriques, étoit auffi le plus complet que nous euffions fur cette partie. Je fouhaite que celui-ci réponde au but que je me fuis propofé.

S'il peut mériter le fuffrage du Public, il fera fuivi d'un autre fur la Gnomonique, qui en feroit une seconde Partie. C'eft particuliérement dans cette partie des Mathématiques que la Trigonométrie fphérique s'applique le plus heureusement. Les defcriptions des Cadrans par des lignes font trop peu exactes pour mériter une certaine confiance. Nous n'avons point encore de Traité de Gnomonique où tout ait été foumis au calcul des tiangles fphériques. Cependant cette Théore feroit de la plus grande importance dans la pratique, & la généralité des folutions les rend encore plus intéreffantes, en ce que les dfférents angles horaires qu'on ne calcule comnunément que par une fuite de triangles, lorfqu'on n'y emploie que la Trigonométrie rectiligne, peuvent être déterminés indépendamment les uns des autres par le moyen des triangles fphériques.