employées par les Aftronomes dans les éclipfes, ou dans les paffages des planetes inférieures sur le difque du Soleil. Les Géographes en fuppofent toujours les connoiffances dans leurs représentations des différentes portions du globe fur une furface plane. La Gnomonique n'eft ellemême qu'une application prefque continuelle de ces projections. Mais le but que je me fuis particuliérement propofé dans le détail que je donne ici de ces conftructions, a été de faire en quelque façon, découvrir la Trigonométrie tant fphérique que rectiligne, par l'application de l'analyse algébrique à ces folutions graphiques; ce qui conftitue la troisieme espece de folutions qu'on pouvoit defirer fur les problêmes de cette nature. La généralité des formules & la facilité de les découvrir, donne à cette partie l'avantage de réunir fous un même point de vue toutes les analogies qu'on peut defirer fur chaque cas particulier; & la comparaifon des folutions qu'elle nous donne avec celles des Anciens, ne la rend que plus curieufe & plus intéressante.

Telles font les différentes folutions que je m'étois propofé de réunir dans ce petit Traité. J'ai cru devoir y joindre encore une autre partie relative à ce travail, & qui peut être fort utile à ceux qui fe deftinent à étudier les différents Traités de Mathématiques pures ou d'Aftronomie phyfique. L'avantage de trouver des folutions toutes approchées dans les tables des Sinus & des Logarithmes, lorfqu'on ne peut en

efpérer aucune d'exacte & rigoureuse, a engagé les Géometres à réduire prefque tous leurs problêmes à ces fortes de Tables. Il s'eft donc introduit depuis l'analyse de DESCARTES, & les fublimes découvertes des Géometres qui lui ont fuccedé, un nouveau genre de calcul; par finus, cofinus, tangentes, cotangentes, logarithmes, &c, dont on fuppofe les principes connus de ceux qui lifent les ouvrages de nos Géometres. J'ai tâché d'en réunir les notions élémentaires dans le premier Chapitre de cet Ouvrage, & de leur donner le plus d'étendue poffible, en multipliant considérablement toutes les formules, & les fuites infinies qui renferment les principales propriétés.

Comme on a fouvent employé les imaginaires dans les fuites relatives aux diverfes fonctions des finus & cofinus d'arcs multiples, j'ai profité de cette occafion pour inférer une notion précife de ces expreffions, qui fixe l'efpece d'abfurdité qui y donne lieu. Pour traiter encore avec plus d'évidence cette Théorie des imaginaires, j'ai cherché à la démontrer par l'analyfe, en tâchant de découvrir les facteurs du binome aa + bb; & comme c'eft la folution de ce problême général qui nous conduit immédiatement aux imaginaires, il eft aifé d'en conclure qu'elles ne font autre chofe qu'une expreffion abfurde à laquelle on arrive néceffairement toutes les fois que l'on regarde comme produit ce qui n'en eft pas un. Je dois ces principes à feu M. BOISELOU,

dont les Savants regrettent encore la perte affez récente. Cette Théorie appartiendroit plus fans doute aux Eléments d'Algebre pure; mais comme nous pourrons être encore long-temps fans avoir un Cours vraiment complet en ce genre, j'ai cru qu'on ne feroit pas fâché de trouver ici ces vérités fondamentales. On verra fur la fin de l'Ouvrage des applications affez curieufes de ces recherches à la réfolution des équations du troifieme & quatrieme degré par le cercle.

Peut-être fe trouvera-t-il quelques perfonnes qui regarderont cette partie de l'Ouvrage, comme un étalage inutile de formules algébriques dans un Traité de Trigonométrie fphérique.. Je crois être en droit de les prier de fufpendre leur jugement, au moins jufqu'à ce qu'ils ayent entrepris l'étude des différents ouvrages de calcul relatifs à la Théorie de NEWTON. L'Aftronomie eft devenue une fcience fi délicate qu'on ne fauroit avoir trop de moyens de fimplifier les calculs qu'elle entraîne, & de perfectionner les diverfes parties dont elle dépend. Au refte, ceux qui ne fe deftinent pas d'une maniere particuliere à cette étude, pourront fe contenter des cinq ou fix premiers Théorêmes du premier Chapitre. Comme j'ai tâché de réunir dans un même ouvrage la pratique la plus facile & la plus fimple avec une Théorie beaucoup plus étendue, j'ai eu foin de difpofer les matieres, de maniere que ceux qui ne pofféderoient que leurs élé

ments, puffent entendre fans aucune difficulté tout ce qui conftitue la Trigonométrie fphérique proprement dite, qui se réduit aux deux Chapitres fuivants.

Je démontre dans le fecond Chapitre les principales propriétés des Triangles fphériques, après avoir expofé les notions générales qui y ont rapport; & c'eft la premiere des trois Sections dans lefquelles ce Chapitre eft divifé. La feconde a pour objet la résolution des triangles fphériques rectangles. Comme cette partie eft d'un ufage continuel, je me fuis appliqué à lui donner la plus grande fimplicité dont elle pût être fufceptible. Chaque Théorême n'a befoin que d'une analogie pour être démontré. Pour aider encore davantage à retenir les différentes folutions, j'ai ajouté la démonftration du Théorême général de NÉPER qui réduit les feize cas des triangles rectangles à deux, & qui n'a befoin que de l'énumération de ces mêmes cas, dont chacun fe vérifie fur le champ par une feule analogie.

La troifieme Section renferme la réfolution de tous les cas des triangles fphériques obliquangles. J'y joins un Théorême analogue celui de NÉPER fur les triangles rectangles, & qui eft le même que M. PINGRÉ a donné dans les Mémoires de l'Académie. J'y ai néanmoins fait quelques changements que j'ai cru propres à le rendre encore plus fimple. Outre les folutions déja connues du cas des trois côtés ou des trois angles,j'en ai donné plufieurs autres que je

crois nouvelles. On ne peut s'empêcher, en étudiant les Traités ordinaires de Trigonométrie, d'être furpris que l'on cherche un angle par le finus de fa moitié. Ce choix femble bifarre pourquoi n'y emploie-t-on pas le finus ou cofinus tout entier de ce même angle ou fa tangente ou fa cotangente ? L'énumération complette des différentes folutions que je donne ici, pouvoit feule juftifier cette pratique. Elle nous apprend en effet que de toutes les formules qu'on pouvoit defirer, elle eft la plus fimple, ainfi que celle du cofinus de la même moitié de l'angle cherché. Les applications de ces formules à la Trigonométrie rectiligne donnent auffi des folutions beaucoup plus faciles que celle qu'on trouve dans tous les Eléments.

Cette Section eft terminée par une démonftration complette des fameufes analogies de NEPER, qui ont été défigurées & altérées dans le Cours de M. WOLF. Il paroît que NÉPER s'étoit proposé de ramener la Trigonométrie fphérique à la rectiligne, afin de donner un moyen de retenir aifément toutes ces folutions: mais il eft plus naturel de déduire la Trigonométrie rectiligne des formules générales pour les différents cas des triangles fphériques. Les démonftrations de ces Théorêmes en amenent plufieurs autres également généraux, dont M. SIMPSON n'a donné que des cas particuliers. Ce Chapitre contient tout ce qui est effentiel à la résolution des triangles fphériques; & ceux qui ne voudroient apprendre que cette partie