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foit fait c. d:: ff. dff, & foit prise CD & CE chacune
égale à vaff. Pour trouver CD=CE = √iff —n; il
faut chercher une moyenne proportionnelle entre c & d;
qui fera nommée g: puis trouver à ces trois grandeurs c.
g. f. une quatriême proportionnelle qui fera n =
✓ dff.
Car puifque c. g. d. font en proportion continue, c. d ::
mais ayant encore c. g::f. n. on aura cc. gg:: ff. nn.
donc c. d :: ff. nn. = dff. & par conféquent n = √dff;
DE sera (no. 12.) l'axe cherché. Ayant enfuite trouvé
les foyers F & G par la troifiême Propofition, on dé-
crira l'Ellipfe par la premiere.

cc.gg i

DEMONSTRATION.

ELLE eft évidente par ce que l'on a démontré no. Iz.
Prop. 1. & 3.

PROPOSITION VII.

Problême.

FIG. 62. XIII. UN E Ellipfe ADBE, dont AB eft le grand axe; C, le centre; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipfe mener la tangente MT.

Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en 7, en forte que MI = MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point o milieu de GI fera la tangente cherchée.

DE'MONSTRATION.

D'UN N point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI, puisque par la conftruction MG=MI,& I10= OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'eft pourquoi le triangle GLI fera ifofcele; & partant FL+LI=LF + LG furpaffe FM+ Mİ = FM+MG; donc le point Z eft hors de l'Ellipfe. C. Q. F. D.

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!

1.

COROLLAIRE I.

SI l'on mene MK parallele à IG, l'angle KMO fera droit: puifque (Conft.) GI eft perpendiculaire à MO.

COROLLAIRE II.

LA ligne MK partage l'angle FMG en deux également: car à cause de KM parallele à GI, l'angle FMK

=FIG= MGI GMK.

COROLLAIRE III.

3. LA tangente MO rencontre l'axe AB prolongé en 7: car l'angle GOT est droit, & l'angle OGT est aigu.

4.

COROLLAIRE IV.

L'ANGLEFML est égal à l'angle GMO, puifqu'ils font les complémens des angles égaux FMK,GMK, d'où il fuit que fi le foyer G étoit un point lumineux, les rayons réfléchis à la rencontre de l'Ellipse passeroient tous par le foyer F.

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DEFINITIONS.

AYANT ANT abbaiffé du point M fur l'axe AB la perpendiculaire MP. PT eft appellée la foutangente, MK la perpendiculaire, & PK, la fouperpendiculaire, ou founormale. VIII.

PROPOSITION

Theorême.

6. AYANT fuppofé les mêmes chofes que dans la Propofition précédente; & nommé comme dans la première Propofi tion AC, ou CB, a; CF, ou CG, c; CP, x; PM, y; FP fera c+x, & GP, c-x, ou x- c; cela pofe. Fe dis que l'expreffion algebrique de la foutangente PT fera

aa-xx

DE'MONSTRATION.

LE triangle rectangle GPM donne GM

= Vcc — 2cx+xx + yy. Et parceque MK eft parallele à GI, & que FI= (Prop. préced.) FM+MG= (art. 12. no. 2.) AB = 2a, l'on a FI (2a). FG (20) :: MI, ou MG (√cc — 2cx + xx+yy). GK.

-

FM. FK:: MG. GK. Donc altern. FM. MG :: FK. GK. Donc com. FM+ MG FI. MG :: FK+GK FG. GK. Donc altern. FI. FG:: MG. GK.

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=

2cx + xx + yy
;

=

donc PK =x-c+

cVcc — 2050+ xx+yy › Ou ax Ou axac - ac+cVcc — 2cx+xx+yy, &

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à cause de l'angle droit K MT, l'on a PK

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dans celle

c'est pourquoi en mettant cette valeur de yy de PT, l'on aura après la réduction, & dívision, PT

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eft un quarré dont la racine eft aa—c; c'est pourquoi cette derniere valeur de PT fe change en celle-ci, après avoir ôté ce qui fe détruit, & divifé les deux termes de

la fraction par aa — cc . PT —

aa -XX

·

C. Q. F. D.

COROLLAIRE I,

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