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on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée ; & par confequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet, réfoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'eft conftruire une infinité de fois un Problême déterminé.

REMARQUE.

1. LEs valeurs arbitraires que l'on affigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent fouvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x-b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de x feroient negatives; ce qui eft évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x-b-bo. Dans cette équation xx = a -yy, les valeurs arbitraires que peut donner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x feroient imaginaires, puifque tout le fecond membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait ya, l'on aura xx-aa-aa=0, & fi l'on faifoit y=o, l'on auroit xx=aa; donc x=+a. Mais dans cette équation axby, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y: car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne faffe yo, auquel cas l'on aura ax=0, ou x

2.

THEOREM E.

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l'on

SI I l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles-mêmes, ni entr'elles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correfpondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite.

DE'MONSTRATION.

SOIT IT l'équation ay—bx, en la réduisant en Analogie l'on a a. b:: x. y; foit prefentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe; & ayant pris fur AH l'interFIG. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui faffe avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AG indéfiniment prolongée. Il eft clair qu'ayant pris fur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b:: x. y, en quelqué endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui eft la même chofe, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle de y fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG eft le lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problême, qui doit être refolu par l'équation propofée ay=bx. C. Q. F. D.

=

COROLLAIRE I.

3. SI l'équation proposée étoit déterminée, comme ay = bc, ce feroit toujours la même chofe, excepté que la lettre qui tient la place de x, eft conftante; ainfi ayant FIG. 3. pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE fera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, il n'y a que le feul point E qui réfout le Problême, puifque AD=c ne peut avoir differentes

valeurs.

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4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, font de même genre; puifqu'elles fe conftruisent par les mêmes lignes, & de la

même maniere.

SI

COROLLAIRE

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III.

s. I dans l'équation précedente ay bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC= AB ; & affignant à x la valeur arbitraire AD; FIG. 3. DE (y) parallele à BC, feroit égale à AD=x.

COROLLAIRE IV.

6. Il est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport constant, c'est-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raifon d'égalité : comme dans l'équation précedente ay—bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y=x, ou x. y :: 1. I.

7.

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ON voit auffi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croiffant ou diminuant, l'autre croît auffi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entre elles le même raport.

THEOREM E.

8. SI dans une équation indéterminée qui n'eft point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATION.

DANS les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n°. 6.) entre elles un raport constant. Or lorfque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux feules, ou accompagnées feulement de lettres connues. Mais par l'hypothefe, ces deux lettres font multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut affigner: c'eft pourquoi, en affignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'eft ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

EXEMPLE.

9. SOIT
IT l'équation yy = aa—xx, qui eft du fecond
degré, Il est clair, 1°. Que x croiffant, y diminue: car le
fecond membre de l'équation devient d'autant plus petit,
que x devient grande. 20. On ne peut pas augmenter x
en forte qu'elle furpaffe la ligne exprimée par a car le
second membre deviendroit negatif, & la valeur de y fe-
roit par confequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a,
l'équation deviendra yyaa-aa-o. Il est donc évi-
dent que cette équation ne fe rapporte point à la ligne
droite; puifque fes qualitez font toutes differentes de cel-
les des équations du premier degré, & partant qu'elle fe
rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen FIG. 4. de fon équation yyaa-xx. Soit une ligne droite CH, donnée de pofition dont l'extrêmité C soit fixe, & dont les parties CP foient nommées x ; foit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CO foient nom

mées,

mées, y; foit auffi une ligne donnée KL nommée, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM fera CP=x, & PM=CQ=y.

=

Si l'on affigne présentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correfpondantes de y (PM). De forte que tous les points M feront à la courbe à laquelle fe rapporte l'équation proposée yy=aa—xx.

Suppofons premierement x=o; le point P tombera en C, & le point M, fur la ligne CG; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la fuppofition de x=o, l'on aura yyaa, donc y = +a; c'est pourquoi fi on prolonge CG du côté de C; & qu'on fasse Ce, & CE chacun E—KL—a; CE fera la valeur pofitive de y, & Ce fa valeur negative, & les points E & e, feront à la courbe dont il s'agit.

=

Suppofons en fecond lieu yo, le point Q fe confondra avec le point C, le point M tombera fur CH, & l'on aura o ad xx, ou xx⇒ àa; donc x =+a ; c'est pourquoi, fi l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL-a; CB fera la valeur pofitive de x, & CA fa valeur negative, & les points B&A, feront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, font également diftans du point C. Si l'on affigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM-y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y=+ Vaa — xx d'où l'on tire cette conftruction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL-a, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M & m; PM fera la valeur pofitive de y, & Pm fa valeur negative, & les points M, m feront à la courbe cherchée, car à caufe du triangle rectangle CPM; l'on a PM2 = CM2 — CP2, c'est-à-dire en termes Algebriques yyaa-xx; donc y=±√aa-xx.

C

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