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=

=

par la même raison. Donc le triangle NKD eft égal au triangle GOI. Donc leurs côtez font égaux chacun à chacun. Donc KN OG. Mais OG FC, étant paral leles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par construction. Donc KN FG. Donc ôtant FN de part & d'autre, il restera FK = CN=DL. Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN ou FK,c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO, f; FO, ou CG ou NR, Z; NF ou RO fera f—c, & DR, d—z; les triangles femblables DRO, OFK donneront d—z ༢. (DR). —c (RO) :: z(OF). c (FK); donc cd — cz= Sz—cz, ou cd=fz. Et comme cette équation eft la même que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il fuit que la courbe décrite comme on vient de dire, eft une Hyperbole. Et parceque fcroiffant, diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter à l'infini, z diminuera auffi à l'infini; c'est pourquoi les lignes CH, & CK font les afymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D.

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༢༢.

L'équation cd=fz peut auffi se réfoudre par le cercle. FIG. 68. Car faifant un cercle ABC, dont le rayon CA fera pris à volonté, fi on mene la corde AB, dont AD = c & DB=d, & que par le point D qui fépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED fera égale à z, & DG égalera f. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle auffi grand que l'on voudra, il est manifefte que & augmenteront à l'infini,

FIG. 67. I.

COROLLAIRE I.

IL eft clair que tous les rectangles semblables à CF × FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL x LD; & que l'on a toujours f =cd.

COROLLAIRE II.

2. SI l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par Bune ligne quelconque TBVS

qui

E

qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les afymptotes en T & en S, TB fera toujours égale à VS: car ayant mené BX & VQ, paralleles aux afymptotes, l'on aura (Corol. 1.) CX x XB = CQ × QV, ou ( en nommant CX, d; XB, c ; C Q, S ; QV, 2 ; ) /z = cd, ou/༢.— ¢༢ = ¢d cz, qui étant changée en analogie, 2. S-c:: z. c d'où il fuit par la Démonstration de cette Propofition que XBQS; donc TB

donne d

=VS.

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COROLLAIRE I I I.

3. IL eft clair que les parallelogrammes CD, CB, CO, CV font égaux entr'eux.

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4.SI l'on avoit nommé NF, ou RO,, l'on auroit eu
[z = cd
cd-cz, qui montre que lorfqu'une équation à
l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéter-
minées n'ont point leur origine au fommet de l'angle des
afymptotes.

COROLLLAIRE V.

5.IL eft évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faisant KODI peuvent servir à en trouver d'autres comme B, & B à en trouver d'autres comme V, &c.

PROPOSITION II.

Theorême.

6. EN fuppofant les mèmes chofes que dans la premiere F16. 67. Propofition, fi l'on mene par le fommet C de l'angle des afymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre ỔG & DL, prolongées ou non prolongées en P & en M. Je dis que le rectangle CM x CN, ou CM × LD est égal au rectangle CP x CF, ou CP × GO.

e

Ayant nommé les données CZ, d; CN, c; CM, a, & les indéterminées CF, ou GO,f; CG, ou FO, z; CP, u. Il faut prouver que ac = uf.

DE'MONSTRATION.

A Caufe des triangles femblables CLM, CGP, l'on
a CL. CM :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a ::
z. u; donc du
=az: mais (Prop. 1.) = cd, d'où l'on
tire =; mettant donc cette valeur de
༢.
༢. dans l'équa-
tion précédente, l'on aura fu= ac. C. Q. F. D.

On peut encore démontrer cette Propofition en cette forte. A caufe des paralleles DM, OP, l'on a CL. CG:: CM. CP; c'est pourquoi en mettant dans l'équation de la Propofition précédente f1⁄2= cd, en la place de d ( CZ) & dez (CG) leurs proportionnelles a ( ČM ) & u ( CP), l'on aura fu = ac.

PROPOSITION III.

Problême.

FIG. 69.7. UNE Hyperbole MBm, dont les afymptotes font CT, &CH, étant donnée, il faut d'un point quelconque B, donné fur l'Hyperbole, mener une tangente HBT.

Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles aux afymptotes, foit prife ITCI. Je dis que la ligne TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point.

T

DE'MONSTRATION.

=

PAR l'Hypothefe TBH rencontre l'Hyperbole en B ; & parceque CI=IT, TB fera auffi BH; d'où il fuit que BTH ne rencontre l'Hyperbole qu'en un feul point B: car fi elle la rencontroit en un autre point 0; HO (n°. 2.) BT feroit BH. ce qui eft impoffible. C'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. ̊C. Q. F. D.

=

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8. IL eft clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les afymptotes en T & H, font divifées en deux également par le point touchant B.

9.

COROLLAIRE II.

IL fuit auffi que fi la position de la tangente TBH, eft telle que la ligne menée de l'angle C des afymptotes. au point touchant B, divife cet angle en deux également, les angles CBH, CBT feront droits, & au contraire: car puifque les angles BCG, BCI font égaux, le parallelogramme GI fera un rhombe; & partant CI=CG; donc. CT (n°. 6.) double de CI = CH double de CG; c'eftpourquoi les angles CBH, CBT font droits.

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10. IL fuit encore que fi l'angle des afymptores HCT est droit dans toutes les Pofitions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des afymptotes au point touchant B fera = BH=BT; fi cet angle eft aigu, CB furpaffera BH, où BT; s'il eft obtus CB fera moindre. que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle fur le diametre HT, le point C sera sur la circonférence fi l'angle HCT eft droit, hors du demi cercle, s'il eft aigu; & dans le demi cercle, s'il eft obtus; donc au premier cas CB = BH ou BT ; au second, CB, furpaffe BH, ou BT; & au troifiéme, elle eft moindre.

II.

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IL eft encore manifefte que les lignes Z K, Mm paralleles à la tangente HBT font coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puifque BH= BT, PL fera PK: mais (no. 2.) ML=mK ;

PM Pm.

=

donc

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PROPOSITION IV..

Problême.

12. UNE équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée ̧ décrire l'Hyperbole.

On voit par l'équation, qui n'a que deux termes, que l'origine des indéterminées x, & y eft au fommet de l'ângle des afymptotes.

Soit C l'origine des indéterminées x, qui va vers T, & y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacune—a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira (Prop. 1.) l'Hyperbole MBm, entre les afymptotes CT

& CH.

DEMONSTRATION,

ELLE eft évidente par la premiere Proposition.

FIG. 69.13.

PROPOSITION V.

Theorême.

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SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT font les afymptotes; foit aufli par un point quelconque B menée (no. no. 7.) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P, l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M&m, & les afymptotes en L & K. Je dis que CPCB'. PM':: CB'. BH', ou ce qui revient au même, ayant prolongé B C en A, & fait CA = = CB, que AP x PB, PM: AB'. TH',

Ayant mené BI, BG, mQ & mN paralleles aux afymptotes, & nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT, b; CI, ou GB, c; CG, ou IB, d; & les indétermi nées CP, x; PM, ou Pm, y; CQ, ou Nm, f; CN ou Qm, z; AP sera x + a, & BP, x.— a.

aa, yy : ; aa. bb:: 4aa. 4bb,

Il faut prouver que xx-aa, yy:; aa.

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