xxyy, c'est-à-dire, qu'alors AP PB = PM'; les diametres conjuguez AB, DE feront égaux; (no. 9. ) les afymptotes à angles droits ; & tous les diametres égaux à leurs parametres.

L'on remarquera que ces deux équations à l'Hyperbole ne different de celle du cercle, & les deux premieres de celle de l'Ellipfe, qu'en ce que les deux quarrez inconnus, ont un même figne lorfque l'un eft dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre, ou differens fignes, lorfqu'ils font tous deux dans un même membre, & c'est le contraire dans celle du cercle, & de l'Ellipfe, comme on a remarqué (Art. 12. n°. 13. ) ; d'où l'on conclura qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Hyperbole, quelque mêlange de conftantes qu'il s'y puiffe rencontrer, lorfque les quarrez des deux lettres indéterminées auront un même figne, l'un étant dans un membre de l'équation & l'autre dans l'autre, ou des fignes differens, étant tous deux dans le même membre; & fouvent même lorfque les indéterminées s'y trouveront multipliées l'une par l'autre. Je dis fouvent: car il y a des exceptions à faire qu'on trouvera dans la fuite.

FIG. 70.

29.

DEFINITION.

L'HYPERBOLE qui a fes afymptotes à angles droits, ou ( no. 9. ) ce qui revient au même, dont les diametres font égaux entr'eux & à leurs parametres, eft appellée Hyperbole équilatere ; parceque l'axe d'une Section conique eft appellé par Apollonius, latus tranfverfum, & fon parametre, latus rectum.

dd=

30. UN E équation à l'Hyperbole xx + cc — dd

étant donnée, décrire l'Hyperbole.

myy

n

Soit C l'origine des inconnues x qui va vers P, & y qui va vers F, & qui font un angle quelconque FCP, le

point C fera auffi le centre de l'Hyperbole; puifqu'il n'y a point de fecond terme dans l'équation. En fuppofant 19. Que d furpaffe c; foit ff=dd cc, & mettant dans l'équation en la place de ddce fa valeur ff, elle devien•f= Soit pris CB=f; CB sera (no. 13.)

myy

n

dra xx le demi diametre de l'hyperbole qu'il faut décrire. Soit fait m. n :: ff. "ff; Vnff sera (Art. 12. n°. 12.) le demi diametre conjugué CD. Ayant mené par B la ligne HBT parallele à CD, & fait BH & BT chacune égale à vnff;

m

m

- CD; l'on menera les lignes CHL, CTK du centre C par les points H & T qui feront (no. 13.) les afymptotes, & l'on décrira l'Hyperbole (Prop. 1. ) par le point B.

DE'MONSTRATION.

ELLE est évidente par les Art. & n°. que l'on vient de

citer.

30. En fuppofant 20. Que e furpaffe d, foit fait gg dd, & mettant dans l'équation en la place de cc

= CC

-

-

ceque cette équation n'exprime point dans l'état où elle eft, la proprieté de l'hyperbole démontrée (no. 13. ) ou dans la Prop. 5: car xx+gg n'est point égal à AP ×

PB; il faut la changer en celle-ci

nxx

m

m

=yy.

ngg en

m

multipliant par n, divifant par m, & transposant, qui montre que le demi diametre exprimé par Vass doit être pris fur CF exprimé par y. Ayant donc pris CD="; & fait gg, g fera le demi diametre conjugué à CD; si

ngg n.m::

m

l'on mene préfentement par D la ligne tDH parallele à CB, & qu'on faffe tD & DH chacune=g; les lignes menées du centre C par t & par H, feront les afymptotes; & l'on décrira l'hyperbole par le point D.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft la même que la précédente.

PROPOSITION

Theorême.

VIL

FIG. 71. 31.UNE Hyperbole BM, dont C eft le centre; AB & DE les deux axes, ou deux diametres conjuguez quelconques; & CH, CT, les afymptotes, étant donnée. Si l'on mene (no. 6.) par un point quelconque M autre que B la tangente EMF, qui rencontre les afymptotes en E & F. Je dis qu'elle rencontrera le diametre AB en un point L, qui fera fitué entre le centre C, & l'extrémité В du même diametre AB; & que CP. CB :: CB. CL.

&

Ayant mené par M les droites PMK parallele à DE, ou HT, MO, parallele à CB; MI, parallele à CH, par le point B, les droites BG, BÑ paralleles aux afymptotes CT, CH, & nommé les données & conftantes CB, ou CA, a; CD, ou BH; ou BT, b; BG, ou CN, c; BN, ou CG, d, & les indéterminées CP, x; PM,y; CI, ou (no. 6.) IE, f; MI, z,&CL,t. Il faut prouver que x. a: a. t.

DEMONSTRATION.

LEs triangles femblables CBT, CPK donnent CB (a).

bx

BT (b) :: CP (x). PK; donc MK=

a

triangles semblables TBN, KMI, donnent b (TB). d

− y ( KM). z (MI), d'où l'on tire =

Les triangles femblables BNC, MIO donnent

==; donc EO=

EN (d). NC (c) :: MI (z), 10=

d