xx=yy , c'est-à-dire, qu'alors A PR PB= PM'; les

— diametres conjuguez AB, DE seront égaux ; ( no. 9.) les asymptotes à angles droits ; & tous les diametres égaux à leurs

parametres. L'on remarquera que ces deux équations à l'Hyperbole ne different de celle du cercle, & les deux premieres de celle de l'Ellipse, qu'en ce que les deux quarrez inconnus, ont un même signe lorsque l'un est dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre; ou differens signes , lorsqu'ils sont tous deux dans un même membre, & c'est le contraire dans celle du cercle , & de l'Ellipse, comme on a remarqué ( Art. 12. no. 13.); d'où l'on conclura qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Hyperbole , quelque mélange de constantes qu'il s'y puisse rencontrer, lorsque les quarrez des deux lettres indéterminées auront un même signe, l'un étant dans un membre de l'équation & l'autre dans l'autre , ou des signes differens, étant tous deux dans le même membre; & souvent même lorsque les indéterminées s'y trouveront multipliées l'une par l'autre. Je dis souvent: car il y a des exceptions à faire qu'on trouvera dans la suite.

D E F INITION. L'HYPERBOLE qui a ses asymptotes à angles droits, ou ( no. 9: ) ce qui revient au même , dont les diametres sont égaux entr'eux & à leurs parametres, est appellée Hyperbole équilatere ; parceque l'axe d'une Sedion conique est appellé par Apollonius , latus transversum, & fon

parametre , latus reftum.

29.

myy

PROPOSITION V I.
30. UN E équation à l' Hyperbole xx + cc – dd =

étant donnée, décrire l'Hyperbole. Fig. 70. Soit c l'origine des inconnues x qui va vers P, & y qui

ya vers F, & qui font un angle quelconque FCP , le

n

?

myy

.

n

m

m

point C sera aussi le centre de l'Hyperbole; puisqu'il n'y à point de second terme dans l'équation. En supposant 10. Que d surpasse c; soit ff dd

сс,

& mettant dans l'équation en la place de dd - cc sa valeur ff, elle deviendra xx ff

Soit pris CB=f; CB sera (no. 13.) le demi diametre de l'hyperbole qu'il faut décrire. Soit fait m. n:: ff. nffi vaff sera ( Art. 12. no. 12.) le demi diametre conjugué CD. Ayant mené par B la ligne HBT parallele à CD, & fait BH & BT chacune égale à Vincent =CD; l'on menera les lignes CHL, CTK du centre C

; par les points H & T qui leront ( no. 13.) les asymptotes, & l'on décrira l'Hyperbole ( Prop. 1. ) par le point B.

D E'M ON S T R A TI O N. Elle est évidente par les Art. & no. que l'on vient de citer. 30. En supposant 20. Que c surpasse d, soit fait gg

88 dd, & mettant dans l'équation en la place de cc dd sa valeur 88, l'on aura **+88

mais
xx
SS

parceque cette équation n'exprime point dans l'état où elle est, la proprieté de l'hyperbole démontrée (no. 13. ) ou dans la Prop. s: car xx +88 n'est point égal à APR PB ; il faut la changer en celle-ci =yy multipliant par n,

divisant

parm, & transposant, qui montre que le demi diametre exprimé par vngs doit être pris sur CF exprimé par y. Ayant donc pris CD=V"58; & fait

88. g sera le demi diametre conjugué à CD; si l'on mene présentement par D la ligne tDH parallele à CB, & qu'on fasse tD & DH chacune=8; les lignes menées du centre c par t & par H, seront les asymptotes; & l'on décrira l'hyperbole par le point D.

= cc

myy

n

ngs

en

m

m

m

*38
m

ngg n. m ::

m

D E'MONSTRATION.
Elle est la même que la précédente.
PROPOSITION VIL

Theorême,
F16.71. 31. UNE Hyperbole BM , dont Ceff le centre ; AB & DE

les deux axes, ou deux diametres conjuguez, quelconques i a
CH, CT, les asymptotes , étant donnée. Si l'on mene (no. 6.)
par un point quelconque M autre que B la tangente EMF,
qui rencontre les asymptotes en E & F. Je dis qu'elle rencon-
trera le diametre A B en un point L, qui sera situé entre le
centre C, & l'extrêmité B du mėme diametre AB; quç
CP. CB :: CB, CL.

Ayant mené par M les droites. PMK parallele à DE, ou HT; M0, parallele à CB; MI, parallele à CH, & par

le point B , les droites BG, BÀ paralleles aux asymptotes CT , CH, & nommé les données & constantes CB, ou CA, a; CD, ou BH; ou BT ,b; BG , ou CN,C; BN, ou CG, d; & les indéterminées CP, * PM,y; CI , ou (no. 6.) IE, S; MI, 2, & CL, t. Il faut prouver que x. a :: å.t.

D E MONSTRATION. LEs triangles semblables CBT, CPK donnent CB(2). BT (6):: CP (x). PK=-; donc MKS triangles semblables TBN, KMI, donnent 6(TB), d (BN):: -y (KM). 2 (MI), d'où l'on tire a= bdx ady

Les triangles semblables BNC, M10 donnene

ز

ba

b x

y. Les

a

a

bgc

a

ab

66