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cz

EI +10=f+ — ; & BN (d). BC (a) :: MI (2). MO

4. Enfin les triangles femblables EOM, ECL donnent S+% (EO). % (0 M) :: 2f (EC). t (CZ), d'où l'on tire cd : mais (Prop. 1.) fx = cd, & f

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c'eft

zafz df+cz pourquoi en mettant ces valeurs de s& de s1⁄2 dans celle

de t, l'on aura t=

bdx

ady

༢=

ab

zadz dd + zz

Or l'on vient de trouver

༢,

& celle

; mettant donc cette valeur de

de fon quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura

après les réductions † — —

2aabbx2a3by

aabb bbxx-zabxy+aayy

: mais

(Prop. 5.) aayy = bbxx-aabb; c'eft pourquoi en mettant cette valeur de dans la derniere de t, l'on aura après les réductions, t = t; d'où l'on tire x.a::a.t. C. Q.F.D.

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IL eft clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné fur l'Hyperbole, mener une tangente fans le fecours des afymptotes, en prenant CZ troifiéme proportionnelle à CP & à CB.

33.SI

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SI de CP (x) l'on ôte CZ (#), l'on aura PL=

x

aa

pour l'expreffion de la foutangente PL.

COROLLAIRE III.

SI de CB (a) l'on ôte CZ (), l'on aura BL

aa

ou fi l'on fuppofe que CP (x) devienne infi

niment grande, le point touchant M fera infiniment éloigné de B; & effaçant le terme - aa dans l'expreffion de BL; parcequ'alors il devient nul par raport à ax, d'où il fuit que le point Z tom

l'on aura BL

ax

· x

= a ż

be en C, & la tangente L M devient CE qui eft l'asymptote de l'Hyperbole.

PROPOSITION VIII,

Theorême.

FIG. 72. 35. UNE Hyperbole B M, dont C eft le centre; A B & DE, les axes conjuguez, étant donnée ; fi l'on fait CF & CG chacune égale à l'intervalle BD, ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris fur l'Hyperbole, les droites MF, MG, & (no. 32. ) la tangente ML. Je dis que l'angle LMF fera égal à l'angle LMG.

Ayant mené l'appliquée MP perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CF, ou CG, ou BD, c; MF, 2; MG, s; CP, x; PM,y; PF fera, x—c; PG, ×+ ¢ ; & CZ ( no, 3 1.) —, donc FL

x

aa

aa

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Il faut prouver que MF (2). MG (S) :: FL

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LES

DEMONSTRATION.

s triangles rectangles FPM & GPM donnent A. xx — 2cx + cc + yy = zz, &

༢༢,

B. xx + 2cx + ccyy: mais (Prop. 4.)

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bb = ccaa, mettant donc cette valeur de bb dans

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cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines, cx — aa = az, & cx + aa—af; donc cx ;af; donc cx aa. cx + da:: az af:: Z. S. C. Q. F. D.

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COROLLAIRE

36. D'où l'on voit que fi l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole fe réuniroient à l'autre point G ou F.

DEFINITIO N.

37. LEs points F & G font appellez les foyers de l'Hyper

bole,

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SECTION VIIL

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Où l'on donne la méthode de réfoudre les Problêmes indéterminez du premier et du fecond degré c'est-à-dire, de conftruire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cercle, la Parabole, l'Ellipfe & l'Hy perbole.

MÉTHODE.

XV. les équations indéterminées, ou les lettres inL

'ON a vû dans les Sections précédentes 10. Que

connues qui ne font multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorfque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci ay = bx, ou x=y; les inconnues x & y ont leur origine au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous les points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere, la conftruction du Problême fe trouve faite.

2°. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un defquels eft le quarré de l'une des inconnues, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme axyy; les inconnues x, & y ont leur origine au fommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que lorfqu'elle a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'eft point au fommet d'un diame

tre.

3°. Que lorfqu'une équation au cercle, ou à l'Ellipfe, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes, deux defquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troifiéme eft entierement connu, comme aa — xx —

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x & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes, & que forfque ces équations ont des feconds termes, l'origine des inconnues n'eft point au centre.

4°. Que lorfqu'une équation aux afymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un eft le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme xy=ab, l'origine des inconnues x & y eft au fommet de l'angle des afymptotes, & que lorfque cette équation a plus de deux termes, l'origine des inconnues eft ailleurs; où l'on remarquera que les quantitez conftantes, quelque compofées qu'elles fe puiffent rencontrer, ne changent rien de ce que nous venons de dire; puifque l'on peut toujours mettre en leur place des valeurs fimples: par exemple cette équation

a+b+

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xxyy, eft une équation

au cercle dont le centre eft l'origine des indéterminées : car on peut trouver (Art. 5.) une quantité fimple dd =

at - b+

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de forte que mettant dd dans l'équation précé

dente en la place de

at — b4

Il en eft ainfi des autres.

CC

elle deviendra dd -xx―yy.

Nous avons donné dans les Sections précédentes la maniere de conftruire les équations indéterminées du fecond degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de propofer; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à la parabole, & aux afymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes, l'équation au cercle, à l'Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole, n'avoit que trois termes parmi lefquels il n'y en avoit point de fecond: mais lorfqu'on réfout un Problême, les équations où l'on arrive ne font pas toujours, ou plûtôt, sont rarement dans

S

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