a

cet état. Ce qu'il y a de constant, c'est que lorsque les leteres indéterminées n'auront pas plus de deux dimensions , soit qu'elles soient multipliées par elles-mêmes, ou entr'elles, les équations appartiendront toujours à une des

quatre Courbes du premier genre. Il est même trèssouvent facile de reconnoitre par la seule inspection d'une équation à laquelle des quatre elle appartient, par ce que l'on a dit ailleurs, & il n'y a qu'un Cas où l'on puisse se méprendre, qui est lorsqu'une équation renferme deux quarrez inconnus, & que le produit des deux lettres inconnues se rencontre encore dans quelqu'un de ses termes: car ces équations appartiennent souvent à l'hyperbole, & quelquefois au cercle , ou à la parabole, ou à l'Ellipse: mais lorsqu'il n'y a qu'un quarré inconnu , & que le pro. duit des deux inconnues se trouve dans un autre terme, l'équation appartiendra toujours à l'hyperbole, & il sera libre de la réduire aux diámetres, ou aux asymptoces, comme on va bien-tôt voir.

Il suit de tout ceci que pour construire les équations qui ne font point dans l'état des précédentes, c'est-à-dire, pour décrire les Courbes ausquelles elles appartiennent, ou il faut donner d'autres régles que celles des trois Sections précédentes; ou il faut donner des régles pour ramener ces équations à l'état où sont celles des mêmes Sections, afin de se servir des mêmes régles dont on s'y est servi pour décrire ces Courbes : mais comme il va paroître un Livre de Monsieur le Marquis de l'Hôpital ( pour l'intelligence duquel celui-ci ne sera peut-être pas inutile ) dans lequel on trouvera des Méthodes de construire les équations indéterminées , telles qu'on les trouve en resolvant les Problèmes, on a jugé à propos de prendre le parti de ramener les équations indéterminées qui n'excedent point le deuxiéme degré, à l'état de celles par le moyen desquelles nous avons décrit les SeEtions coniques dans les trois Sections précédentes. Les moyens dont on se sert pour changer d'état ces équations, sont nommées réductions.

DES RÉDUCTIONS Des Equations indéterminées du premier & du second degré. 1. Il n'y a que deux choses qui empêchent les équations indéterminées du second degré, d'être semblables, ou dans le même érat de celles par

le

moyen desquelles nous avons décrit les Courbes ausquelles elles appartiennent dans les trois Sections précédentes. Ces deux choses sont les seconds termes, & les rectangles composez; de sorte que pour les réduire, il n'y a qu'à faire évanouir par les régles ordinaires les seconds termes , & changer les re- . Aangles , ou produits composez en des re&angles, ou des produits simples.

J'appelle rectangle composé, le produit d'une lettre ou quantité connue , ou inconnue, par une lettre in

. connue accompagnée par addition, ou soustraction d'une autre lettre ou quantité connue simple , ou composée. Par exemple ay + xy , est un re&angle composé de a+ x x y; aa tay, est un rectangle composé a +yxa; aax + axy, est un re&tangle composé de

aa + ay b

6 +by+xy, est composé de a+b+xxy. Il en est ainsi des

2. Il y a quelquefois quelque changement à faire pour rendre des quantitez complexes semblables aux rectangles composez dont nous venons de parler. Par exemple aa

- by, n'est point le produit d'une quantité simple par une quantité complexe : car pour cela, il faudroit qu'il y eut un 6 dans le premier terme aa ; c'est pourquoi il faut ( Art 5. ) changer aa en un rectangle dont un côté soit b, comme en bc, & mettant bc en la place de l'on aura bc - by=(-yxb. Il en est ainsi des autres, у

. Il y a des équations, où il n'y a qu'à ôter les seconds termes pour les réduire : il y en a d'autres où il n'y a qu'à changer les produits composez en des produits fimples,

x x ; ay

autres.

=C

& il y en a d'autres où il y a toutes ces deux choses à faire. Les exemples suivans ne laisseront rien à éclaircir sur ce sujet.

E X E M P L E S.
De la réduction des Equations en faisant évanouir les

seconds termes. ON sçait que la régle de faire évanouir le second terme d'une équation, est d'égaler la racine du premier ' + ou — le coefficient du second divisé par l'exposant du

premier à une nouvelle inconnue, ce qui donne une équa. tion que j'appelle réduction ; d'où l'on cire une valeur de l'inconnue qui est la racine du premier terme de l'équation à réduire ; & substituant cette valeur , & celle de ses puissances dans l'équation à réduire, elle se change en une autre équation, où l'inconnue dont on vouloit faire évanouir le second terme, ne se trouve plus, mais il se trouve en sa place la nouvelle inconnue de la réduction, dont le premier terme est élevé à la même puissance que celui de l'inconnue que l'on a fait évanouir: mais qui n'en a point de second. Ceci est général pour les équations de tous les degrez, quoiqu'il ne soit ici question que des équations du second,

Ex E M P L E I.
SOIT
4.

I t l'équation xx — ax +yy
T —
ax + yy = by. Il est clair

que cette équation appartient au cercle , puisqu'elle renferme deux quarrez inconnus xx & yy qui ont le même signe + étant tous deux dans un même membre de l'équation; mais les inconnues n'ont point leur origine au centre: car les deux quarrez inconnus xx & yy ont chacun un se

. cond terme ax & by. Pour faire évanouir le second terme

a

=

у

évanouir le second terme by, je le passe du côté de son
premier yy, afin que yy garde son signe +; ainsi l'équation
devient - aa + yy — by=0; & faisant y - 6

у
=u, l’on a y=x+b; & mettant cette valeur de y
& celle de son quarré dans l'équation en la place de y
& de yy , l'on aura 2-4 aa + uu - bb o, ou ka

1 / 4 aa + 1 / 66 uu, qui montreroit que cette équa-
tion appartient au cercle si on ne l'avoit pas connu d’a.
bord, & qui montre que les inconnues z & u ont leur
origine au centre; puisque ni l'une , ni l'autre n'ont point
de second terme. Le demi diametre de ce cercle est égal
à V. aa +866.

EX E M P L E I I. s.

Soit une équation xx + bx - 2ax - yy=o. On
voit déja que cette équation est à une Hyperbole équila-
tere ; puisqu'elle renferme deux quarrez inconnus avec
differens signes dans un même membre, & délivrez de
toute quantité connue ; en faisant * + { ba=k,

=
l'on aura x =*- {b+a, & après les substitutions l'on
Abb + ab

- yy

ou ༢༢ - { 6
+ ab — aa =yy: mais fi { b surpasse a il faudra tranf-

=
poser le terme connu : car en ce cas il est positif, & dans
l'équation à l'Hyperbole il doit être négatif; ainsi l'é-

=yy + $ bb- ab + aa, où les inconnues
Z&y leur origine au centre de l'Hyperbole, dont les
demi diametres conjuguez sont égaux entr'eux & à
1. b-a, ou a-

E x E M P L E III.
6. Soit xx — 2xy + by=o, qui est une équation où il
y a un second terme 2xy qui peut appartenir indifferem-
ment aux deux premiers: mais parceque le quarré de y ne
s'y trouve point, il faut nécessairement le rapporter à xx ;

I

aura 25

=O

=

quation sera

ont

- b,

Siij

à

faisant donc x -Y= , l'équation se réduira à 22 - y

. —

2 + by O: mais la réduction a fait naître un premier terme yy qui a pour second by ; c'est pourquoi en transposant pour donner à yy le signe +, l'on a 3=yy — by ,

,

— & faisant y - 16 =u; l'équation se réduira à 25=uu į bb, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere, où les inconnues z& u ont leur origine au centre.

E x E M P L E
XE

I V.
I T xx — 2xy — aa + 2yy=0, en faisant x - y

xx =x, l'équation se réduit à celle-ci 22- yy — aa + 2 yy

o, ou 2 — ad + yy =o, qui est une équation au o

Eo cercle, files inconnues z&y font un angle droit ; à l'Ellipse, s'il est oblique.

Si dans l'équation à réduire xx — 2xy — aa + 2yy, au lieu de zyy, il y avoit — yy, ou – 2yy ei , elle appartiendroit à l'Hyperbole dont les diametres ne sont point égaux ; s'il y avoit + 3yy ou + 4yy &c, elle appartiendroit à l'Ellipse ; & si au lieu de

2yy,
il y avoit + by + yy,

elle appartiendroit à la parabole.

E X E M P L E S.
Des réduétions en changeant les produits composez en

produits simples. ON réduit en changeant les produits composez en des produits simples, toutes les équations où il n'y a point de quarrez inconnus, qui sont celles qui appartiennent à la ligne droite , ou aux asymptotes de l'Hyperbole ; celles où il n'y a qu'un quarré inconnu sans le produit des inconnues, qui appartiennent toutes à la parabole ; & celles où il n'y a qu'un quarré inconnu avec un produit des deux inconnues, qui appartiennent toutes à l'Hyperbole. On pourroit aussi réduire ces dernieres, en faisant évanouir le second terme, comme on a fait (no. 6. ) auquel cas elles

) appartiendroient aux diametres de l'Hyperbole : mais en les réduisant en changeant les rectangles composez en de