simples, elles se rapporteront aux asymptotes. Toutes ces équations ne feront point entiérement réduites par cette seconde maniere de réduction, que lorsqu'elles ne renfermeront que deux termes.

EXEMPLE V.

8. SOIT l'équation, x+y=a, ou x=a-y, en faisant a -y = z, l'on aura x = z qui est un lieu à la ligne droite. Si l'on fait x+y=z, l'on aura z=a, qui est aussi un lieu à la ligne droite: mais les deux inconnues d'une équation ne se doivent pas trouver dans une réduction quand on peut faire autrement.

Soit l'équation x-y=a- c, ou x = a -c+y: en faisant a-c+y=z, l'on aura x = &

EXEMPLE VI.

१. SOIT l'équation ax - by = aa, ou ax = aa+by, ou ax = bc + by, en mettant be pour aa, ayant fait c+y =z, l'on aura ax = bz, qui est un lieu à la ligne droite.

10.

EXEMPLE VII.

SOIT l'équation ax - xy = by, en faisant a -y =z, l'on a y=a-z; & mettant cette valeur de y dans l'équation à réduire, l'on aura xz = ab bz qui a encore trois termes; c'est pourquoi, en transposant, l'on a xz+bz=ab: & faisant x + b = u, l'on a uz = ab, qui est une équation aux asymptotes de l'Hyperbole.

EXEMPLE VIII.

=

11.SOIT abx bcy +axy; parceque dans les équations où il n'y a point de quarré inconnu, c'est le produit des deux inconnues qui en détermine le degré, il faut, avant que de les réduire, délivrer ce produit de toute quantité connue; c'est pourquoi en divisant toute

bcy

l'équation par a, l'on aura bx =

+ xy, & faisant

a

bc

a

bc

& mettant cette valeur

bbc

de x dans l'équation à réduire, l'on aura bz-- = zy,

bbc

a

ou bz-zy = ; & faisant encore b-y=u, l'on aura

bbc

a

zu = 6, qui est un lieu aux asymptotes de l'Hyberbole.

12.

I

SOIT l'équation xx - ax = by, pour faire évanouir le second terme, on fera x + a = 2, & l'on aura aa = by, ou =aa+by, ou X=bc+by, en mettant be pour aa, & faisant encore c+y=u, l'on aura x = bu, qui est un lieu à la parabole dont le parametre eft b.

EXEMPLE X.

13. SO IT l'équation xx + xy = ab. On peut réduire
cette équation en faisant évanouir le second terme, &
elle se rapportera aux diametres de l'Hyperbole : car
faisant
+y=7, l'on aura
ab, ou zz-
ab=yy. Mais parceque xx + xy = x x x +y, en faisant
x+y=2, l'on aura zx = ab qui fe rapporte aux asymptotes.

xx

EXEMPLE X I.

=

14. SOIT XX xy = by, on pourroit encore réduire cette équation en faisant évanouir les seconds termes, & elle se rapporteroit aux diametres de l'Hyperbole : mais on peut aussi la réduire aux asymptotes comme l'on a fait la précédente: car en transposant, l'on a xx = by Voyez l'ar- + xy; & faisant x+b=2, l'on a x z-b, & mettant cette valeur de x dans l'équation à réduire, l'on aura z 262+66 zy, ou zy + 2bz - zz=bb, & faisant y + 2b – z= u, l'on aura uz bb, qui se afymptotes.

CONSTRUCTION DES REDUCTIONS.

XVI. EN réduisant les équations indéterminées, l'on en forme d'autres plus simples, que nous avons nommées Réductions. Et comme c'est par le moyen de ces RéduAions que l'on construit les premieres, l'on a jugé à propos d'en donner ici la construction en particulier pour avoir plus de facilité à construire les autres.

Toutes les Réductions se peuvent rapporter à quelqu'une des fix Formules suivantes, où a, b & c expriment des quantitez connues quelconques complexes, ou incomplexes.

CONSTRUCTION

De la premiere Formule x + a Z.

1. SO IT A le point fixe, ou l'origine des inconnues x, F16.73. qui va vers H, & y qui va vers G, & qui forment l'angle GAH tel qu'il doit être selon les qualitez du Problême, dont on suppose ici que l'on fait la construction. 1o. Si la Réduction est x + a = x, il est clair que la construction se doit faire sur la ligne AH exprimée par x ; & que pour avoir sur AH indéfiniment prolongée vers H une ligne égale à z, il faut prolonger A H du côté de A en C, en forte que AC = a: car l'on aura alors CA + AH = a + x = 2; & ainsi le point C sera alors l'origine, ou le commencement de z qui va vers H, & de y qui va versg, en demeurant toujours parallele à AG, de forte que s'il n'y avoit point de Réduction pour y, le point Cseroit l'origine des inconnues de l'équation réduite, dont celle que l'on vient de construire est une Réduction.

T

FIG.74.

2. Si la Réduction est x-a=2z, l'on prendra le point C du côté de H par raport à A, & l'on fera AC = a; & le point C sera le commencement de z qui va toujours vers H, & dey qui va vers g parallele à AG; car alors CH=x-a= 2; & s'il n'y avoit point de réduction pour y, le point C seroit l'origine des inconnues de l'équation réduite.

AH

AC

=

FIG.73. 3. Mais si dans l'un ou dans l'autre, ou dans tous les 74. deux Cas précédens, il y a une réduction pour y semblable à la précédente, par exemple, y + b = a l'on fera sur Cg ce que l'on vient de faire fur AH, c'est-à-dre, que s'il y a y + b = u, on prolongera Cg en 0, & s'il ya y-b= u, l'on retranchera Co de Cg, en faisant CO, ou Co = b; & le point O, ou o sera l'origine des inconnues de l'équation réduite u qui va toujours vers g, & z qui va vers M, ou m parallele à CH; de sorte que les nouvelles inconnues z&a font le même angle au point O, ou o que les premieres x & y au point A, qui est leur origine.

CONTRUCTION

De la seconde Formule a - x = z.

4. L'on voit par la seule inspection de cette Formule que les deux inconnues x & z sont ensemble égales à la FIG. 75. grandeur a; c'est pourquoi A étant le commencement de x qui va vers H, ayant pris sur A H l'intervalle AC =a, le point C sera le commencement de z, qui en ce cas va vers A, & de y qui va vers g parallele à AG: car si l'on prend librement un point Dfur AC; AD étant x, CD sera a - x =z; & le point D n'étant point fixe ne peut être l'origine de z; c'est pourquoi puisque x a fon origine au point A, & commencera nécessairement au point fixe C, & ira par consequent vers A.

5. S'il y a encore une Réduction pour y semblable à une des deux premieres Formules, on la construira comme on a fait les précédentes.

CONSTRUCTION

De la troisième Formulex+y=z.

6. TOUTES les Réductions, où se trouvent les deux
inconnues x & y de l'équation à réduire, viennent des
équations où les mêmes inconnues font multipliées l'une
par l'autre dans quelque terme, & où l'une des deux, ou
toutes les deux font quarrées. Or pour ne point se trou-
ver embarrasse dans la construction de la Réduction, la
lettre inconnue de la Réduction qui est multipliée par l'au-
tre inconnue dans l'équation à réduire, doit être con-
struite la premiere; par exemple, si l'équation à réduire
ab; soit qu'on fasse
-y=z, pour faire
évanouir le second terme, soit qu'on fasse x - y = z pour
changer le rectangle compose xx - xy, en un simple xz,
il faudra toujours construire y la premiere.

eft

xx - ху =

Supposons dans cette Formule que y étoit multipliée, par x dans l'équation à réduire; & foit A le point fixe où F16. 76. commencent les inconnues x qui va vers G, & y qui va vers H, & qui fait avec AG un angle quelconque GA H. Si outre la Formule que l'on construit, il y a une reduction pour y, elle sera semblable à une des deux précedentes, c'est-à-dire, qu'elle sera y + b = a, & on la construira comme les précedentes en prenant fur AH, prolongée ou non prolongée selon qu'il y a y + b, ou y-b, la partie AC, ou AD=b, & l'origine de l'inconnue u sera au point C, s'il ya y+b=1; au point D, s'il y a y-bu, & ira vers H dans l'un & l'autre cas: mais s'il ya b-yu, le point D sera l'origine de a qui ira vers A. Cela posé.

Si la Réduction est x+y=z, l'on prendra sur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé EF en B, en forte que EB = AE, l'on menera de A par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF = BE + EF =