algebriques z, ouc -y. c :: xx. aa, & partant aac —
u,
cxx: mais l'on a pris bc = aa ;

-aay

l'on a donc c, &

mettant dans l'équation en la place de c fa valeur, elle deviendra aa- -by= =xx, qui eft celle que l'on a conftruite. C. Q. F. D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

3. UN angle GAH, & un point fixe B fur un de ses côtez FIG. 85. AH étant donnez de pofition. Si par le point B on mene la droite BC perpendiculaire à AH, & d'un point quelconque P la droite PE parallele à B C qui rencontre AG en E, & que du centre B, & du rayon PE l'on décrive un arc de cercle qui coupe PE en M ; & comme l'on peut trouver une infinité de points comme M, il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe que tous les points M forment.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené BM, & nommé les données AB, a; BC, b; & les indéterminées BP, x; PM, y; AP sera a + x; & les triangles femblables donneront AB (a). BC(b) :: AP(a+x) (Const.) BM ; & à cause du triangle

.PE=

ab+bi

rectangle BPM, l'on aura xx✈yy=

aabb+2abbx+bbxx

aa

aayy,

où aaxx+aayy aabb +2abbx+bbxx, ou en fuppofant
que a furpaffe b, aaxx— ·bbxx = zabbx + aabb
qui eft une équation à l'Ellipse. Si l'on fuppofoit a moindre
que b, l'on auroit bbxx-aaxx=- · 2abbx — aabb + aayy,
qui eft une équation à l'Hyperbole. Enfin fi l'on fuppofe
a=b, l'on aura, après avoir mis a à la place de b, & réduit
l'équation à l'ordinaire, yy=2ax + aa qui eft une équa-
tion à la parabole, dont le sommet n'eft point en B à cause
qu'elle contient trois termes.

Pour la réduire, on la divisera premierement par 2, afin que x ne foit accompagnée d'aucune quantité connue dans la réduction, & l'on aura yy=ax+ 1⁄2 aa, & ayant

fait x+4a=z, l'équation réduite ferayyaz, ou yý — 2az en mettant z pour x + a. Ce qui donne cette conftruction.

A caufe de la réduction x + az, on divisera A B par le milieu en D, & le point D sera le fommet de l'axe DH, & la parabole fe trouve décrite par la construction.

DEMONSTRATION.

AYA A NT mené d'un point quelconque M pris fur la parabole, la ligne MP perpendiculaire à DH, par la propriété de la parabole, le parametre de l'axe étant Art. 10. no. 7.) 2a, l'on aura 2az = yy, ou 2ax + aa =yy, en remettant pour fa valeur x + a. C. Q. F. D.

REMARQUE.

4. CE Problème pourroit fervir de fondement à un Traité des trois Sections coniques; puifque la même équation convient à toutes les trois en faifant seulement BC égale, moindre, ou plus grande que AB, & que c'eft auffi la même description pour toutes les trois. Je ne m'en fuis néanmoins fervi que pour la parabole, tant parceque les descriptions que j'ai données de l'Ellipfe, & de l'Hyperbole ne font pas moins fimples, que parceque je n'aurois pû démontrer, comme j'ai fait, d'une maniere générale les proprietez de l'Hyperbole par raport à fes axes, & à tous les diametres.

5. Il est aifé de voir que B eft le foyer de la parabole AM, A, le point générateur; A F parallele à BC, la ligne génératrice: car l'équation réduite yyzaz montre que za eft le parametre, & par la conftruction BD= DA=a. Et parceque (Hyp.) BC AB l'on a auffi AP PE (Conft.) BM= FM; c'eft pourquoi cette description est la même que celle de l'Article 10, comme on vient de remarquer.

=

=

bb =o, qui appartient à une des quatre courbes du premier genre; puifque les inconnues & y n'excedent point le fecond degré.

ay

Pour ramener cette équation à l'état de quelqu'une de celles des trois Sections précedentes, je fais x + ➡, pour faire évanouir le second terme & l'équa

2axy
b

༠u

& y

tion se change en celle-ci zz-by- bb=0,ouzz by
+bb, où l'on voit déja qu'elle est à la parabole; puisqu'il
n'y a qu'un quarré inconnu zz; mais les inconnues
n'ont point leur origine au fommet du diametre fur lequel
il la faut décrire, parcequ'il y a encore trois termes; c'est
pourquoi je fais encore y+bu, & l'équation devient
bu, qui eft femblable à celle de l'Art. 10.

=

Pour conftruire cette équation foit A l'origine des in- FIG. 86. connues y qui va vers H, &x, qui fait avec AH un angle quelconque, & va vers Già caufe de la deuxième réduction y+bu, on prolongera AH du côté de Aen I, en forte que AI=b, & le point I fera l'origine des inconnues z qui va toujours vers H,&x qui fait toujours le même angle avec IH, & eft parallele à A G.

A caufe de la premiere réduction x +

O

ay

b

=༢,lon

menera par I la droite 70 parallele à AG, & ayant fait 10 = a; l'on menera de o par A la droite OAK, & le point o fera le fommet du diametre fur lequel il faut décrire la parabole: car fi par quelque point B, pris fur AH l'on mene la droite PBM parallele à 10, l'on aura à caufe des triangles femblables A LO