U;

4

24

sr(:4).v8( :-) :: 5x(). X2= 9;& par.

2c

a

24

24)

24)

=u; c'est pourquoi soit prolongée IB du côté de B, qui rencontrera ST en V, & ayant fait V Y =4<=AIP, soit menée SY, & du point M la ligne M X parallele à IB, qui rencontrera ST en X, &Sy en z, &ZX sera :

2 car SV

SX tant MZ(u)=y+1b- , & BY={b-, & alors

( les lignes SQ & Sy seront les asymptotes ; & par consé- . quent Sz & ZM , les coordonnées.

Il n'est pas cependant necessaire de faire évanouir l'expression de SX=z de l'équation réduite , pour introdui

= re en la place celle de Sz:car 1°. Soit qu'on le fasse ou non, on trouvera par le moyen de l'équation réduite , que l'Hyperbole doit toujours passer par le même point : comme en ce cas, où l'équation réduite est ; ab — ; ac le terme connu ab - į ac=

s = { b .fo a = BY SV , fait connoître ( Art. 14. no. 12.) que l'Hyperbole doit passer par le point B; & fi l'on nom. me sy, d; & sz , S; pour introduire l'expression sz dans l'équation réduite en la place de celle de S.X , l'on aura à cause des triangles semblables SVY, SXZ, SV.SY :: SX.SZ, ou en termes algebriques į a. d :: 2.), d'où l'on tire & mettant dans l'équation réduite - ab

-- ac =uz, en la place de z la valeur , l'on aura - bd --cd = fu, dont le terme connu - bd - Ich 6 b-cxd=BY SY, montre comme aupa.

6 R$ " ravant, que l'Hyperbole doit passer par le point B. Ce que l'on connoît ausli par l'équation à réduire aab + aay abx

2axy acx - 6xx ; car faisant x=a, afin

1

x

4

2d

2

4

2

=aac

que le point M tombe en B , l'on aura aab to aay — aab

2day

aac , d'où l'on tire y=0; d'où il suit que l'Hyperbole passe par le point B, puisque BI s'y anéantit.

20. Le rectangle SV x BY, Ou RB BY étant égal à se * SX, le rectangle SY * BY sera ( Art. 14. no. 6.) égal au rectangle se x Sz; d'où l'on voit qu'il est en quelque façon plus simple de réduire ces sortes d'équations aux afymptores de l'Hyperbole que de les réduire aux diametres. Si donc l'on décrit par le point B entre les asymptotes SQ, SY l'Hyperbole BM, elle' satisfera au Problème.

ز

DEMONSTRATION. AYANT mené d'un point quelconque M pris sur l’Hy, perbole la droite M2 X parallele à OS ; par la proprieté de l'Hyperbole ( Art. 14. no. 6.), l'on a SV x BY=SY * Mz, ou en termes algebriques - ab Hz, d'où l'on tire aab + (xx - acx – - abx

zaxy aay, en remettant pour u & pour 2 zo leurs valeurs. C.Q.F.D.

ас

8

4

= 2axy

COROLLA I RE I. s. Si les paralleles AF, B1 étoient perpendiculaires à DE, les points P & N se confondroient avec le point I, & IP=c deviendroit nulle ou =0;

c'est pourquoi il faudroit effacer tous les termes où ć se trouve dans l'équation à réduire aab + cxx - acx - abx

+ aay, & l'on auroit, ab - 6x

2xy , ay, que l'on con

— struiroit comme celle du premier Problème de cet article. COROLLA IR E

I I. 6.SI outre cela le point A tomboit en K, AL=6 deviendroit nulle , & l'on auroit x = en effaçant tous les termes où b se rencontre dans l'équation ab

bx 2xy — ay, & le point M se trouveroit dans la ligne droite RQ menée par le milieu de KB parallele à IB.

= 2xy

7.

=

1

4

8

4

I

8

a

2

COROLLA IR E III. Les choses étant supposées comme dans l'énoncé du Problême no. 4. Si 2 AL=IP, ou 2b = c dans l'équation réduite - ab. 는 ac = 74, l'on aura - ab = = ac, & partant zu=0; d'où il suit qu'en ce cas l'Hyperbole se confond avec ses asymptotes, & que par consequent le point M se trouvera dans la ligne Re qui est une des asymptotes

. En effet en ce cas l'équation à réduire devient à ab + 26xx - Zabx

Zabx - 2axy + aay=0,

= en mettant 26 en la place de c, qui étant divisée par 2x -a=o, il vient bx

il vient bx — ab — ay=0,& l'équation 2x

o, donne x = -a, qui montre que le point M se trouve dans la ligne Re menée par le milieu de

. LB parallele à AL. COROLLAIRE 1 Ꮩ. .

IV 8. ENFIN si 2 AL est moindre.que IP, ou que le point A, se confonde avec le point K, ou qu'il se trouve au dessous de K, l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ, & passera par le point A : car dans l'équation réduite – aba

ac=uz, ac fupassera -- ab dans le premier cas; - ab sera nulle ou = o dans le second; &

= dans le troisiême, 6 deviendra negative de positive qu'elle étoit. Ainsi la quantité ab ac sera toujours ne gative , & partant l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ

1

1

REMARQUE S. 9. LORSQU'on veut réduire ces fortes d'équations à l’Hyperbole par raport à ses alymptotes il faut observer i?. Que â la lettre inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation , se trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de ses termes

autre que dans celui où elle se trouve multipliée par l'inconnue qui est quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction sur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve. 20. Dans la seconde réduction ( qui seroit la seule, si

( la lettre inconnue qui n'est point quarrée ne se trouvoit point seule dans quelque terme de l'équation ) la lecere inconnue qui n'est point quarrée doit toujours êgre positive.

3. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue.

4%. Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole, en les regardant par raport à ses diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple.

E x E M P L E.

aab t CXX

abx

acx

za

2

10. Soit l'équation 2

= xy — - ay, qui est celle que l'on vient de construire. Si on suppose que le point A tombe en K, AL=6 deviendra nulle ou = 0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes, où 6 se rencontre , l'on aura

Exy -- ay que l'on

ху se propose de réduire à l'Hyperbole par raport à ses asym

CXX

acx

24

2

A a iij

=

26

protes , & dont les termes sont disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation selon ce qui est dir dans le premier cas de la remarque précédente.

Faisant donc x - ya=, l'on réduira l'équation à celle-ci czz — 2ayz = 4 aac, ou myz = į ac. Il

-Y2 = faudroit pour faire la seconde réduction prendre y

en = u; mais parceque l'inconnue y qui n'est point quarrée dans l'équation à réduire se trouve négative dans cette seconde réduction, & qu'elle y doit être positive, les réductions

que

l'on vient de faire ne serviront de rien. Il faut donc changer les signes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura = 1 ay - xy ; & en faisant į a- x=2, l'on réduira l'équation à celle-ci į ac = 2y + , & faisant

=u, l'on aura duc = zu. Les réductions & l'équátion réduite serviront à décrire l'Hyperbole, qui palfera par le point K ou A qui ( Hyp. ) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que l'Hyperbole doit passer par le point K: car fi l'on fait x = 0, l'on aura aussi y=0, d'où il fuit que les coordonnées s'anéantissent au point K.

8

24

у

༢
24