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c'eft pourquoi foit prolongée IB du côté de B, qui rencontrera ST en V, & ayant fait Vrc=IP, foit menée Sr, & du point M la ligne MX parallele à IB, qui rencontrera ST en X, & Sy en Z, & ZX fera : = ; & partant MZ (u)=y+b—, & BY=b-, & alors les lignes SQ & Sr feront les afymptotes; & par conféquent SZ & ZM, les coordonnées.

car Sv

(÷a). VY (÷6) :: SX(2). XZ =

Il n'est pas cependant neceffaire de faire évanouir l'expreffion de Sz de l'équation réduite, pour introduire en fa place celle de Sz: car 1°. Soit qu'on le fasse ou non, on trouvera par le moyen de l'équation réduite, que l'Hyperbole doit toujours paffer par le même point: comme en ce cas, où l'équation réduite est ab

= ༧༢;

2

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- — ac

X a = BY × SV, fait connoître ( Art. 14. no. 12.) que l'Hyperbole doit paffer par le point B ; & fi l'on nomme Sr,d; & SZ, f; pour introduire l'expreffion Sz dans l'on aura l'équation réduite en la place de celle de SX, à cause des triangles semblables SVY, SXZ, SV. SY :: SX. Sz, ou en termes algebriquesa. d:: z. f, d'où l'on tire <=,& mettant dans l'équation réduite – ab

༢=

a

2d

و

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4

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= - b — — c × d = BY x SF, montre comme aupa

2

ravant, que l'Hyperbole doit paffer par le point B. Ce que l'on connoît auffi par l'équation à réduire aab + aay abx zaxy➡acx➡ cxx; car faisant x=a, afin

que le point M tombe en B, l'on aura aab →aay aab d'où l'on tire yo; d'où il fuit que l'Hyperbole paffe par le point B, puisque BI s'y

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= dac2aay

anéantit.

aac,

2o. Le rectangle SV × BY, ou RB × BY étant égal à Se * SX, le rectangle Sr × BY fera ( Art. 14. n°. 6.) égal au rectangle SQx Sz; d'où l'on voit qu'il eft en quelque façon plus fimple de réduire ces fortes d'équations aux afymptotes de l'Hyperbole que de les réduire aux diametres. Si donc l'on décrit par le point B entre les afymptotes SQ, Sr l'Hyperbole BM, elle fatisfera au Problême.

DEMONSTRATION.

AYANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Hyperbole la droite Mz parallele à QS; par la proprieté de l'Hyperbole (Art. 14. n°. 6.), l'on a SV × BY sr

× MZ, ou en termes algebriques

uz, d'où l'on tire aab + cxx ༧༢

day, en remettant pour น & pour ༢,

I

ab

acx- abx

- =

8

ac

zaxy

leurs valeurs. C. Q.F.D.

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5.SI les paralleles AF, BI étoient perpendiculaires à DE, les points P & N fe confondroient avec le point 1, & IP c deviendroit nulle où = 0; c'eft pourquoi il faudroit effacer tous les termes où fe trouve dans l'équation à réduire aab + cxx — acx — - abx=2axyaay, & l'on auroit, ab — bx = 2xy — ay, que l'on conftruiroit comme celle du premier Problême de cet article.

COROLLAIRE I I.

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6.SI outre cela le point A tomboit en K, AL = b deviendroit nulle, & l'on auroit x = -a, en effaçant tous les termes où b fe rencontre dans l'équation ab

2

t

bx = 2xy — ay, & le point M fe trouveroit dans la ligne droite RQ menée par le milieu de KB parallele à IB.

LES

COROLLAIRE I I I.

.7. s chofes étant fuppofées comme dans l'énoncé du Problême n°. 4. Si 2ALIP, ou 2b c dans

l'équation réduite ab

I

8

4

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== ac, & partant zu = 0; d'où il fuit qu'en ce cas 'Hyperbole fe confond avec fes afymptotes, & que par conféquent le point M fe trouvera dans la ligne RQ qui eft une des afymptotes. En effet en ce cas l'équation à réduire devient aab+2bxx 3abx zaxy+aay=0, en mettant 26 en la place de c, qui étant divisée par 2x ao, il vient bx · ab — ay = 0, & l'équation 2x donne x = a, qui montre que le point

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2

M fe trouve dans la ligne RQ menée par le milieu de LB parallele à AL.

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8. ENFIN fi 2AL est moindre.que IP, ou que le point A, fe confonde avec le point K, ou qu'il se trouve au deffous de K, l'Hyperbole fe trouvera de l'autre côté de RQ, & paffera par le point A car dans l'équation réduite ab———ac=uz,—— ac fupaffera ab dans le ab fera nulle ou o dans le fecond; & dans le troifiême, 6 deviendra negative de pofitive qu'elle

I

premier cas

8

I

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I

étoit. Ainfi la quantité ab - -=-=

ac fera toujours ne

gative, & partant l'Hyperbole fe trouvera de l'autre

côté de RQ.

9.

REMARQUES.

LORSQU'ON veut réduire ces fortes d'équations à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes il faut obferver . Que fi la lettre inconnue qui n'eft point quarrée dans l'équation, fe trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de fes termes, autre que dans celui où elle fe trouve multipliée par l'inconnue qui eft quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'eft point quarrée fe trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction fur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée fe trouve.

2o. Dans la feconde réduction (qui feroit la feule, fi la lettre inconnue qui n'eft point quarrée ne fe trouvoit point feule dans quelque terme de l'équation) la lettre inconnue qui n'eft point quarrée doit toujours être pofitive.

3. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue.

49. Quand on ne veut point fe donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole, en les regardant par raport à fes diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple.

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qui eft celle que l'on vient de conftruire. Si on fuppofe que le point A tombe en K, AL =% deviendra nulle ou = 0; c'eft pourquoi en effaçant tous les termes où b

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fe propofe de réduire à l'Hyperbole par raport à ses asym

f

ptotes, & dont les termes font difpofez dans l'un & l'autre membre de l'équation felon ce qui eft dit dans le premier cas de la remarque précédente.

༣༣.
24

2a

Faifant donc x → az, l'on réduira l'équation à celle - ci ༦༢༢. zayz = 1 aac, ou 3 — yz = } ac. Il faudroit pour faire la feconde réduction prendre -y =u; mais parceque l'inconnue y qui n'eft point quarrée dans l'équation à réduire fe trouve négative dans cette feconde réduction, & qu'elle y doit être pofitive, les réductions que l'on vient de faire ne ferviront de rien. Il faut donc changer les fignes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura

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ay-xy; & en faisanta - x=z, l'on réduira l'équation à celle-ci ac = zy +, & faisant y ㄓㄥ ➡u, l'on aura aczu. Les réductions & l'équation réduite ferviront à décrire l'Hyperbole, qui paffera par le point K ou A qui (Hyp.) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que l'Hyperbole doit paffer par le point K: car fi l'on fait xo, l'on aura auffi y=0, d'où il fuit que les coordonnées s'anéantiffent au point K.

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