=

= yy

Mais parceque deux équations à la Parabole étant combinées

par addition ou soustration, peuvent toujours donner une équation au cercle, attendu que l'équation à la Parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être délivré de toute quantité connue ; il suit qu'on peut construire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations précédentes, &*de l'équation au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes équations par addition, qui est ay + bx= xx + yy.

Ec parceque les deux premieres équations ay = xx,& bx sont également simples, on peut indifféremment se servir de celle qu'on voudra. Prenons donc la

la premiere ay= xx. Pour la construire, soic A l'origine des inconnues x qui va vers H, & y, qui va vers G perpendicu. laire à AG; le même point A sera aussi le sommet de l'axe AG; de la Parabole qu'il faut décrire, puisque l'équation ay = xx,

n'a
pas

besoin de réduction ; il n'y a donc qu'à décrire ( Art. 10. no. 11. ) sur l'axe AG une Parabole dont le parametre soit la ligne donnée KL=a. Pour construire présentement l'équation au cercle ay х = Xx + yy ;

foit fait pour la réduire y - {a=u, & x— {b=2; & l'on aura l'équation réduite į aa + 1 bb

- uu=2, qui avec les réductions donne cette construction.

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & & x; à cause de la premiere réduction y —{

ak,

l'on prendra AC={a= KL, & ayant mené CO parallele à AD; à cause de la seconde réduction x - {b=, on prendra sur CO, CE=b=IMN, & le point E sera

= l'origine des inconnues 2, qui va vers 0, & u, parallele å AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais Vaa + bb, qui est la racine du cerme connu de l'équation réduite, est le demi diametre du même cercle ; c'est pourquoi fi du centre E par A on décrit un cercle,

+ 66

=

il coupera la Parabole en un point l, par où ayant mené QP parallele AH; PQ & PA seront les deux moyennes proportionnelles qu'il faloit trouver.

DE MONS I R A TI O N. IL est clair

que le cercle coupe AG & AH en I & en D, de maniere que AI = 2 AC-KLa,& AD=

= 2CE=MN=b. Ainsi PI = PA- AI=y-a,

& PFAD

PQ-6

x. Or par la propriété du cercle APX PI=PQX PF, ou en termes algebriques, yy — ay'=bx - xx , ou yy — bx=ay =

- xx:: mais ( Art. 10 ) ay = xx ; donc yy - bx=0, ou yy= bx. Or ay

= xx donne Al, ou KL. PQ :: PQPĀ, & yy=bx donne PQ.PA :: PA. AD, ou MN; donc KL, PL,PA,& MN sont continuellement proportionnelles. C. Q. F. D.

X.

.

E XE M P L E I V.

Problême Solide. UN E courbe AM, dont l'axe eft AP, son fommet A, F16.99. da un point D au-dedans ou au-dehors de cette courbe , étant donnez de position sur un Plan , il faut mener du point D ane ligne droite DMC, qui coupe la courbe AM, ou fa tangente au point M à angles droits.

Ayant supposé le Problême résolu, soient menées les droites D B & MP perpendiculaires à AC; du point M la droite M E parallele à AC, qui rencontrera DB en E; & par le point M la tangente MT. Nommant présentement les données AB, 6; DB, C; & les indéterminées AP , *5 PM,y; & PT, t; BP ou Me sera b + x,

ME * si le point B est hors de la courbe , & DE,C- y

Langle CMT étant droit par l'Hypothese, les triangles MPT, CPM & MED seront semblables ; c'est pourquoi l'on aura y (MP).t(PT ) :: x + 6(EM)..-y(ED);

b donc cy — yy=tx + bt, qui est une équation générale

= pour toutes les courbes AM , & que l'on déterminera à

вь iij

telle courbe que l'on voudra, en y substituant en la place de + , l'expreslion de la foutangente PT.

Si l'on veut par exemple que la courbe AM soit une Parabole ; PT sera ( Art. 11. no. 6.)=2x=t; c'est pour

=

. quoi en mettant pour « sa valeur - 2x, l'on aura cy — yy

t = 2x* + 2bx, qui est une équation à l'Ellipse; & nommant le parametre de la Parabole a, l'on aura ( Art. 10.) ax=yy, qui est l'équation à la Parabole AM.

Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troisiême degré, qui ne peut être réduite ; & par conséquene , le Problème proposé est solide. Mais lorsqu'on a une équation à la Parabole, & une à l’Ellipse, ou à l'Hyper.

à bole par raport à ses diametres où les inconnues ne se multiplient point, on peut toujours par leur moyen trou. ver une équation au cercle en cette forte.

Après avoir délivré dans l'équation à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation à la Parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en resultera sera une équation à la Parabole, qui étant combinée avec la premiere par addi. cion, ou soustraction, donnera une équation au cercle. Ainsí en divisant par z l'équation précédente cy - yy= 2

-2xx + 25x , l'on a { cy — } yy=xx+ bx , & mettant pour yy la valeur ax, prise dans l'équation à la Parabole yy; l'on aura {cy - {ax = xx + bx, qui est une autre équation à la Parabole; & en combinant par addition ces deux équations à la Parabole, l'on aura į cy - į ax to ax = xx + 6x + yy, ou {cy + { ax = xx + bx + yy, qui est une équation au cercle.

Quoique l'on pût construire le Problême par le moyen de l'équation au cercle, & de la seconde équation à la Parabole ; il est néanmoins à propos de se fervir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la Parabole don.

AX