circonference AKB en E, & l'asymptote AH en G , & ayant mené ED parallele à PK , & nommé DB, K; AD sera a - *, & les triangles semblables APM , ADE, donneront AP (*). PM(y) :: AD(a — 2). DE

7

ay — zy

Mais par la proprieté du cercle DE=Vaz

divisant chaque membre par a - *. L'on a aussi l'équa,

valeur de yy dans l'équation précedente , l'on aura

; d'où l'on tire x= x, ou AP=DB ; donc

ax

>

AM=EG , qui donne cette construction qui est la plus simple que l'on puisse trouver.

. Soit menée du point A une ligne droite quelconque AG qui rencontrera la circonférence du demi cercle en E ; & ayant pris sur AG, AM=EG ; le point M sera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION. PUISQUE ( Const.) AP= DB, AP étant x ; DB sera aussi, x; AD, á-x; & l'on aura , à cause des *a—

à triangles semblables APM, ADE, AP (x).PM (y)

ay - grey :: AD(a — *). De= = ( par la prop. du cercle ) Vax — xx, d'où l'on tire l'équation du Problême. C. Q. F. D.

Dioclés Inventeur de cette courbe l'a nommée Cysoide.

,

زلا

ay

F16.106.3. UN angle droit ABH, & un point fixe A sur un de ses

còtez, étant donnez de position sur un Plan, si l'on mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G, & qu'on prenne GM=GB, il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle se trouve le point M , & tous ceux que l'on trouvera de la même maniere.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M sur AB le perpendiculaire MP; & ayant nommé la donnée AB, a, & les indéterminées AP, X; PM,Y; PB

, sera , a — x; &AM,Vxx+yy, & les triangles semblables APM, ABG donneront AP(x). PM(y):: AB(a). BG=

=(Hyp.)GM, & à cause des paralleles PM, BG, l'on aura x (AP). a — *(PB):: Vxx+yy (AM). ay (GM, ou GB), d'où l'on tírey=+ qui est une équation du troisième degré : car on auroit pû la diviser par x avant que d'extraire la racine , & la courbe par conTéquent est du second genre.

il seroit inutile de chercher une construction plus simple que celle qui est renfermée dans l'énoncé du Problê. me: car il est impossible d'en trouver de plus simples. Voi. ci celle que l'équation donne,

Soit prolongée AB en D, en sorte que BD= AB, & décrit un demi cercle AKD sur le diametre AD. Ayant mené par un point quelconque P la droite PK parallele à BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra sur PK, PM quatriême proportionnelle à PK, AP , & PB , & le point M sera la courbe cherchée.

ax

XX

V 24%

XX

. XX

ax

j

y=+

V 24x

D E' MO N S T R A TI O N. Par la construction, & à cause du demi cercle, Vzax (PK). * (AP) :: 2 — * (PB). y(PM), d'où l'on tire

) a

C. Q. F. D. On voit par cette équation que la courbe passe des deux côtez de son axe AB, & que les parties qui font de part & d'autre sont égales & semblables.

Si l'on fait x=0, l'on aura aussi y=0, ce qui montre que la courbe passe au point A, qui est par consequent le sommet de son axe ; &

& la construction précédente aussi bien que l'énoncé du Problême , font connoîcre qu'elle coupe au point A son axe AB à angles droits : car si l'on suppose le point P infiniment proche de A, les points K & M en seront aussi infiniment proches. Or puisque (const.) PK. AP::PB.PM , & que PM est pour

. ainsi dire nulle par raport à PB; AP sera par conséquent

à ; nulle

par raport à PK ; & partant le point M est pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée par A, Si l'on fait y=0, l'on aura x=a;

d'où il suit

que

la courbe rencontre encore son axe au point B, puisque y y eft nulle. Mais outre cela , je dis qu'elle le coupe en faifant avec lui un angle de 45 degrez ; car si l'on fuppose que le point P soit infiniment proche de B, le point K sera infiniment proche du point H milieu de la circonference du cercle AKD; c'est pourquoi PK sera égale å PA, & par consequent PB=PM à cause de l’Analogie précédente PK. AP :: PB.PM. Ainsi le petit triangle KPB sera rectangle & isoscele , & partant l'angle PBM sera demi droit.

ax —XX

fait voir que

V24x –

La même équation y =

+ AP=

= x peut devenir plus grande que AB=a, sans que les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir.

Ёe iij

que
la courbe passe au-delà de BH par raport à A, de

4
sorte que la partie MB se continue vers 1, & l'autre vers E.
Mais parcequ'alors y devient negative de positive qu'elle
étoit, l’équation deviendra — y=+ , ou y

ax

XX

Vzax

> XX

V20x

=

>

que DF menée

= +

Ainsi pour décrire les parties de la courbe qui font au-delà de BH par raport à A, ayant mené par un point quelconque p, la droite pk parallele à BH, I'on prendra pm quatriême proportionnelle à pk, PA , & pB , & le point m sera à la courbe cherchée.

Si l'on augmente x( AP ) jusqu'à ce qu'elle devienne = AD= 2a, l'équation deviendra y

=+*, qui fait

+ voir

par D parallele à BH,& prolongée de part & d'autre à l'infini , ne rencontrera jamais la courbe, & lui sera par conséquent asymptote.

Si l'on veut déterminer le point E , où la courbe cou. ре

la circonférence du demi cercle , il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y=v2ax — xx, & mettant cette

y valeur de y dans l'équation precedente, l'on en tirera x=}a, -a, c’elt-à-dire

que le point E est vis-à-vis le mi. lieu de BD; & que par copsequent l'arc ED , eft de 60 degrez.

EXEMPLE III.
Problême Indéterminé.

F16.107.6.Une ligne droite GH indéterminée de part & d'autre,

& un point D hors de cette ligne , étant donnez de position sur un Plan, si l'on ajuste l'axe AE d'une courbe quelconque FAM sur la ligne GH, & qu'on applique au point fixe D une regle DMF, indéfinie de part et d'autre du point D, qui en tournant fasse mouvoir la courbe FAM en poussant de coté ou d'autre un point déterminé C de fon axe , le long de la

ligne GH , les interfe&tions F & M de la regle DMF, avec la courbe FAM , décriront par ce mouvement deux autres cour. bes, ou deux parties d'une courbe KF & IM. L'on propose de trouver des équations qui en expriment la nature.

Ayant supposé le Problême résolu , l'on menera du point D la ligne DE perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FĂM , & du point d'intersection M les lignes MP, MQ paralleles à DE & à AE : & ayant nommé les données DE, a; AC, 6; & les indéterminées EP ou QM , *; El, ou PM,Y; AP, X; CP sera, 5-6; DQ, a-9; & les triangles semblables DOM, MPC donneronta-y(DQ). x(QM)::y (MP). 2-6(PC),

-y d'où l'on tire cette équation.

A. xy=az--Y2- ab+by , qui est une équation generale pour la courbe IM, telle que puisse être la courbe FAM.

Si l'on change les signes des termes de l'équation A, у se rencontre , l'on aura — xy = ax + y2 - ab

yz by , ou

B. xy=-az-y2+ ab + by , qui est une équation generale pour la courbe KF : car l'inconnue PM=y, de positive qu'elle étoit , devient negative FO, EP=x, devient EO , & AP= z devient Að. Ce qu'on peut aisément prouver én cherchant une équation dans cette supposition : car co étant à present”, 6-2; EC sera

-Ki x+2–6; & les triangles semblables DEC; FOC don

. neront a ( DE ).x+36(EC) :-Y(FO)6 R(CO), d'où l'on tire xy =

- az - y2 + ab+by , qui est l'équation B.

La nature de la courbe FAM étant donnée, l'on au. ra une équation qui exprimera la relation de ses coordonnées AP, ou A0 (3) & PM , ou oF (X.), d'où l'on tirera une valeur de®z que l'on substituera dans 16quation A, ou B ; & l'équation qui en fésultera exprimera la nature de la courbe IM', ou KF , & en déterminera le genre.

où ý

: