Si l'on fait xo, l'équation E fe changera en ces deux d'où l'on fuivantes yy2ay + aa = 0, & bb — yy = 0, tire y a, & y=+b; il suit de la feconde y=+b, que ya, les deux courbes IM & KF coupent l'axe DE en deux points I & K, qui font éloignez du point E de la grandeur du demi diametre CM. Il fuit de la premiere y as que la courbe IM peut paffer par le point fixe D, ce qui arrive lorfque ba, & lorfque b furpaffe a avec cette difference, que lorfque ba, elle coupe l'axe DE au feul point D; & lorfque b furpaffe a, elle le coupe au point D, & en un autre point plus éloigné de E que le point D, de forte qu'elle fait en ce cas une espece de nœud, & eft femblable à la courbe du Problême précédent. L'on auroit connu la même chofe par le moyen de l'équation F.

Nicomede auteur de cette courbe l'a nommée Concoïde, & le point D, le pole de la Concoïde.

10. UN angle droit ABH, & un point fixe A, fur un de fes FIG. 110. côtez AB étant donner, il faut trouver dans cet angle le point M, en forte qu'ayant mené du point A par M, la ligne AMG qui rencontre l'autre côté BH en G, & du même point M, la ligne MP parallele à BH, MG foit égale à AP.

Ayant fuppofé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a; & les inconnues AP, ou (Hyp.) MG, x ; PM, y ; B P. fera, a—x; AM √xx+yy; & l'on aura à cause des paralleles BG, PM, x(AP). √xx+yy ( AM) :: a — x ( PB). x ( MG), d'où l'on tire après

les réductions ordinaires, y =±

xV2ax -aa

a1x

qui eft une

équation du quatriême degré ; & par conféquent la cour

be dont elle exprime la nature, eft du troifiême genre.

On voit par cette équation que la courbe a deux parties égales & femblables, l'une d'un côté de fon axe AB, & l'autre de l'autre.

Si l'on fait y=o, l'on aura x =a, d'où il fuit que la courbe coupe AB par le milieu en C, & qu'elle ne la rencontre en aucun autre point; puifqu'on ne trouve qu'une feule valeur pour x.

Si l'on fait x = 0, l'on aura y qui pourroit faire penfer que la courbe paffe auffi au point A, puifque y y devient nulle: mais on en eft defabusé, lorf qu'on fait x moindre qu'un a, ou négative : car alors les valeurs de y deviennent imaginaires; c'eft pourquoi la courbe ne rencontre AB qu'au feul point C.

Si l'on fait x = a l'on aura y =+, ce qui fait voir que la ligne BH prolongée de part & d'autre à l'infini, eft afymptote à la courbe.

Si l'on fuppofe que x furpaffe a, ce qui eft poffible; le dénominateur ax du membre fractionnaire de l'équation, deviendra une quantité négative; c'eft pourquoi les valeurs pofitives de y deviendront négatives, & les négatives deviendront pofitives; mais pour les laiffer dans l'état où elles font, il n'y a qu'à changer les fignes du dé

nominateur a — x, & l'on aura y=± xV2ax aa

› d'où

l'on voit que la courbe a encore deux parties qui font au-delà de l'afymptote BH, dans les deux angles HBD, IBD faits par le prolongement BD de l'axe AB, & par la ligne HBI; que ces deux parties ont encore pour asymptote la ligne HBI : car fi l'on fait dans la derniere équation x=a, l'on aura y = +, & que ces deux mêmes parties ne rencontrent point la ligne BD prolongée: car rien n'empêche d'augmenter x à l'infini, fans que les racines de y deviennent nulles où imaginaires, ce qu'on a déja remarqué en faisant yo. Les deux équations préceden

construction. Soit 2ax-aa=22, qui eft une équation à la Parabole, qui étant construite suivant les régles de l'Art. 19, aura pour fommet le point C, & pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris fur CD, une ligne PK parallele à BH, qui rencontrera la Parabole en K, foit prife PM quatriême proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M sera à la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft claire par l'équation précedente.

Cette construction, & l'équation à la courbe, font voir que les deux parties de la courbe qui font dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la Parabole CK : car lorfque le point P fe trouve au-delà de B par raport à A, BP est toujours moindre que PA; & par conféquent PK moindre que PM. On voit la même chofe par l'équation: car fi l'on fait l'appliquée PK de la Parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est-à-dire V2ax-aa=y, en mettant cette valeur de y dans l'équation à la courbe, l'on en tirera x= a, a, qui marque que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un feul point C, ou elles font nulles,ou=o, & que par confequent la courbe ne rencontre la Parabole qu'au feul point C.

On voit auffi de ce que PB. PA:: PK. PM que plus le point Ps'éloigne de B, allant vers D, plus les points K & M s'approchent l'un de l'autre ; de forte que fi l'on suppose le point P infiniment éloigné de B, PB fera pour ainfi dire égale à PA; & partant auffi PK=PM, d'où il fuit que la Parabole CK, & la courbe CMM, font afymptotes l'une à l'autre.

EXEMPLE V.

Problême Indéterminé.

11.DÉCRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du quatrième degré, & où les deux inconnues x &y, font élevées au-dessus du fecond x* — ayxx+byyx+cy3—o.

En affignant à y une valeur arbitraire, on regardera cette équation comme une équation déterminée du quatriême degré, & formant, felon les regles de la Section précedente, une équation à la Parabole, par exemple az=xx ; & mettant dans l'équation précedente pour xx la valeur az, l'on aura aazz —aayz+byyx+cy3 +byyx+cy3

= ༠, ༠u. ༢༢.=༡༢

= o, qui est une autre

équation à la Parabole 'on combinera ces deux équations à la Parabole pour avoir une équation au cercle, on conftituera cette équation au cercle avec la premiere équation à la Parabole, qui eft la plus fimple, & les points d'interfection, détermineront les valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées ày, que l'on prend pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, & ayant appliqué ces valeurs de x, à l'endroit de l'axe où fe termine la valeur affignée à y, l'on aura autant de points de la courbe cherchée que l'on aura trouvé de valeurs pour x pofitives & négatives; & de cette maniere, en affignant fucceffivement differentes valeurs à y, l'on aura differens points de la même courbe. Où l'on remarquera que l'équation à la Parabole az=xx, ne renfermant point l'indéterminée y, la même Parabole fervira toujours dans tous les changemens de valeurs que l'on affignera à y. Il n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera seque l'on augmentera, ou que l'on diminuera la valeur de y.

lon

L'on s'est déterminé à prendre y pour donnée, quoique fes dimenfions foient moindres que celles de x, parceque y a un fecond terme dans l'équation, & x n'en a point, outre que la construction est la même, foit que l'inconnue ait quatre dimenfions, ou qu'elle n'en ait que trois.

Si les deux inconnues x & y avoient eu chacune un second terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'autre pour conftante, & l'on auroit fait évanouir le fecond terme de celle que l'on auroit prife pour inconnue, afin de faire toujours fervir le cercle dans la construction.

Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-deffus du quatrième degré, on décriroit encore la courbe par le moyen de la Parabole & du cercle, fi l'autre inconnue étoit du troifiême où du quatriême : mais on la décriroit par le moyen du cercle feul, felon les regles de la Section feconde, fi elle n'avoit qu'une ou deux dimensions, en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui excéde le quatriême degré pour constante.

Si dans une équation indéterminée, les deux inconnues excédent le quatrième degré, le cercle ne pourra plus fervir pour décrire la courbe, il faudra alors former une équation à la premiere Parabole cubique, par le moyen d'une nouvelle inconnue, & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs, c'est-à-dire, de celle que l'on ne prend point pour constante.

On fubftituera dans l'équation propofée, en la place des troifiême, fixiême, neuviême, &c. puiffances de l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante, leurs valeurs tirées de l'équation à la Parabole cubique; ce qui donnera une équation à une courbe qui fervira avec l'équation à la Parabole cubique, à décrire la courbe dont l'équation propofée exprime la nature, comme on va voir par l'exemple qui fuit.