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Des Courbes méchaniques, ou tranfcendentes, de leur defcription, & des Problêmes qu'on peut conftruire par leur moyen.

XXVI.

OUTES les Courbes geométriques rentrent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui eft la même chofe, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre déterminé de dimenfions, & qu'on peut par conféquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire, par l'intersection de deux lignes geométriques droites, ou courbes.

Toutes les Courbes méchaniques rentrent auffi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini: mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées eft une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont la rectification eft geométriquement impoffible. Il y en a d'autres dont les coordonnées font deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui font figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points, d'où il fuit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de fes inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui eft impoffible; & c'eft pour cela que ces Courbes font auffi nommées tranfcendentes.

Il fuit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puifque leurs équations n'en expriment que méchaniquement

la nature.

Gg iij

.

Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones 'd'une infinité de côtez, & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne, aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou par la foûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux triangles, font nommées équations différentielles; parce que les côtez du petit triangle font les différences de la Courbe, des deux appliquées infiniment proches, & des deux abfciffes qui correfpondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes méchaniques; mais plutôt une fimple explication de celles qui fe rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analyfe des Infiniment Petits de feu Monfieur le Marquis de l'Hôpital, où il fuppofe que fon Lecteur connoiffe toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprietez.

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FIG. 113. 1.SOIT un cercle ABP, dont le centre eft C, & un rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA faffe un tour entier autour de fon extrêmité immobile C, de maniere que le point A fe meuve uniformement fur la circonférence de A par B en A, pendant qu'un point mobile parcourera auffi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de C en A; ce point décrira par la compofition de ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les fituations de AC, par

exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABA fera à fa partie ABP: comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA, c; ABP, x; CM, y ;) c.x:: a.y, d'où l'on tire ax=cy.

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Si l'on fuppofe que le rayon CA faffe encore un, ou plufieurs tours le point décrivant parcourera pendant chaque tour, fur CA prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même, que CA en aura fait ; & comme on peut fuppofer que le rayon CA fasse une infinité de tours; il fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de points, & que par conféquent elle eft méchanique, ou tranfcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale. Pour la décrire, ayant divifé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divifions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de P en M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M fera à la Courbe CDM : car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA. CM, ou ABA. AFP :: CA. PM:

On décrira de même le 2e tour, en portant fur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainfi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon foit double, triple, &c. du

rayon CA.

Si l'on fuppofe que le rayon CA, & le point décrivant, fe meuvent avec des viteffes qui foient en telle raifon qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces viteffes foient telles que l'on ait toujours ABATM. ABP" :CA". CP", ou cTM. xTM :: a". y", d'où l'on tirera "x"="y", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

m

m

m

Ce feroit la même chofe fi le rayon AC tournoit autour du point Cd'un fens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile defcendroit de 4 vers C, en fuppofant les viteffes telles qu'on les vient de fuppofer:

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car nommant AFP, x; & PM, y; l'on auroit encore cTM. xTM :: a" . y", ou a" x"=c"y", qui eft l'équation pré

cédente.

Sim & n fignifient des nombres pofitifs, les fpirales feront nommées paraboliques; & fi l'une des deux fignifie un nombre négatif, elles feront nommées hyperboliques ; parceque fic &x exprimoient des lignes droites auffi-bien que a & a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le fecond. Par exemple, fi m=1, & n=2, l'on aura_aax= =1,&n= — 1, l'on aura xy = ac. Si m = 2, & n = -1, l'on aura xxy=acc, &c. L'on décrira ces Courbes comme fi elles étoient geométriques, en fuppofant la quadrature du cercle..

FIG. 114. 2.

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cyy.

Si m

SOIT un quart du cercle ADB, dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA fe meuve uniformement autour du centre C, jufqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre auffi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'interfection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME, qui fera telle que ADB . AD :: AC. AP. Dioclés, fon Auteur, l'a nommée Quadratrice.

FIG. 115. 3. Si le rayon AC au lieu de fe mouvoir autour du centre C, fe mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une fituation quelconque DF, l'on ait toujours ADB. AD :: AC. AP; l'interfection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monfieur Tchirnhausen a aussi nommée Quadratrice.

FIG. 114.

Si l'on nomme AC, a; ADB, c ; AD, 'x ; AP, y; l'on 115. aura c.x::a.ys donc ax=cy, pour l'équation commune à ces deux courbes..

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PROPOSITION

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4.SOIENT deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, Fic. 116. qui fe touchent en A, dont les centres foient C& H, & les rayons CA, on CB & HA: foit de plus un point fixe D, pris fur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on fuppofe préfentement que le cercle AFB roule fur le cercle ALI, jufqu'à ce que le point B foit parvenu en T, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloïde, ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, fuppofons que le demi cercle mobile AFB, foit parvenu en roulant dans la fituation KLP dont le centre foit 0, le point D fera alors en M, qui eft un des points de la courbe, & le point B fera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG, qui rencontrera la demi circonférence DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI, HLO qui paffera par le point touchant L, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droite CG qui coupera AFB en F.

=

Il eft clair que les triangles HCG, HOM font égaux, & équiangles : car HC= HO, HG HM, & CG = OM: c'est pourquoi les angles CHG, OHM feront égaux, & partant l'arc RI= l'arc AL—(Hyp.) l'arc LK: cause de l'angle HOM-HCG) l'arc FB.

Nommant donc les données CB, ou CF, ou LO,&c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA, ou HI, &c, c; l'arc DG, x; l'arc MG y; & l'appliquée HM, z; CD fera, a+b; & les fecteurs femblables CDG, CBF, donneront

CD (a+b). CB (a) :: DG ( x ). BF =

ax

n+b

RI;

& à caufe des fecteurs femblables HMG, HIR, l'on a

Hh

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