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qui eft la premiere équation, & qui montre par confequent la verité des deux premieres analogies.

=

Si l'on ajoute, & fi l'on foustrait bd de chaque membre de l'équation ad bc tirez de l'Hypothefe, l'on aura ad +bd=bc+bd, & ad — bd — bc — bd, qui font semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par confequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

32.

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SI deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une mème grandeur C, rationnelle, ou irrationnelle, les pro-. duits ac & bc, feront en même raison que les mêmes quantitez a & b.

Il faut prouver que ac. be :: a. b, ou, afin que la confequence foit en équation, que (no. 29.) abc =abc. Parceque les deux membres de cette équation font fembla bles, il fuit (no. 29, & 3 1.) que ce qui étoit propofé eft vrai.

COROLLAIRES.

rer. IL eft clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux confequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports ceffent d'être égaux.

2. Et parceque les raports, ou les divifions indiquées font des fractions, il fuit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, fans que cette fraction change de valeur. Ainsi b. en multipliant les deux termes par c.

a

ac

bc

3. Une quantité quelconque, qui n'eft point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien, c'eft pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction,

h

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4. Il fuit auffi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs femblables, lorfqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à mème dénomination: car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainfi pour réduire à même dénomina

ab

df

tion & , ayant multiplié les deux termes de la pre

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miere par g,

abg

& ceux de la feconde par c, l'on aura cg &cdf S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les

cg

deux termes de chacune par le produit des dénominateurs

des autres. Ainfi pour réduire

a b C

en même déno• g

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mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la feconde par dg, & ceux de la troifiême afg bdg cdf

par df, l'on aura

,

dfg dfg dfg

Il fe trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, fans les changer toutes d'expreffion.

abb gh

Ainfi & feront réduites en même dénomination,

cd

en multipliant les deux termes de la feconde par d : car

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5. Il fuit encore que c'est la même chose de diviser le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier fon numerateur par la même quan

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33.

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Si l'on divife deux grandeurs quelconques a & b par une même grandeur C, rationnelle ou irrationnelle; les quotiens

a

C

b -&-, feront en même raison que les premieres grandeurs

C

a & b.

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Il faut prouver que

p, &

a

b

:: a. b, ou, ayant suppose


q, que p. q: a. b, ou afin

fequence foit en équation, que bp=aq.

que

la con

La premiere équation (Axio. 1. Coroll. 4.) donne a=cp', & la feconde, b=cq, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. 1.) = bcp, ou en divifant par c, aq=bp; donc (Th 2.)

acq

=

a b

p. q:: a. b, ou —.—:: a. b, en remettant pour p, &

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2. C'eft auffi par le moyen de ce Theorême que l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus fimples expreffions. Ce qui fe fait en divifant l'antecedent & le confequent de chaque raport par une même quantité, que l'on nomme commun divifeur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la propofée, mais plus fimple.

Or il eft fouvent aifé d'appercevoir ce commun divifeur, & particulierement quand les deux termes du raport que l'on veut réduire font incomplexes. Mais fi on ne l'apperçoit pas par la feule inspection des termes, on cherchera (art. 1. n°. 56. ou 57.) tous les divifeurs de

l'antecedent, & tous ceux du confequent; & les diviseurs de l'antecedent qui se trouveront auffi parmi ceux du confequent, feront des divifeurs communs; mais on ne fe fervira que du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui fe trouve auffi parmi ceux du confequent, la fraction ne pourra être réduite à de plus fimples termes.

EXEMP

EXEMPLES.

aab

ab

EMPLE I. se réduit, ou est égal à en divi

ac

fant chaque terme par leur commun diviseur a.

abcvabd

C

abvbd

Exemple 2.

cxVag

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en divisant les parties ra

xVg

abvac

& les irrationnelles par Va.

abcVabc

en divifant les parties ra

d

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tionnelles par c, & les irrationnelles par vb.

= 1, en divifant les deux termes

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=1, ce que nous avions supposé dans l'endroit que nous venons de citer.

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ce que nous avions encore fuppofé au même endroit.

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THEOREME V.

a,

34. Si l'on divife une mème quantité à, par des quantitez. differentes b&c, les quotiens feront reciproquement proportionnels à leurs divifeurs.

• Il faut prouver que

=1, &

=

C

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q, que p. q :: c. b, ou afin que la conse

quence foit en équation, que bp =cq.

La premiere fuppofition donne a = bp, & la feconde a=cq; donc (Axio. 3.) bp=cq; & partant (Theor. 2.)

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b

:: c. b donne (Theor.1.)

ab

ac

b

ou (art. 1. no. 37.) a = a, ou, a—a—0, ou o=0. no. a=a,

A

THE ORME VI.

35. SI trois grandeurs a, b, c, font en proportion continue, la premiere a, fera à la troifième c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la feconde bb.

Il faut prouver que a. c: aa. bb, ou afin fequence foit en équation, que aac = abb.

que la con

L'on a (Hyp.) a. b :: b. c; donc ac=bb, & partant aac =abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F. D.

A

THEOREME

VII.

36. LORSQUE plufieurs raports font égaux, comme

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d &c. La fomme des antecedens a+c+d,

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eft à la fomme des confequens b+d+e, comme celui qu'on

voudra des antecedens, eft à fon confequent.

b iij

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