be IMH érant donnée, on déterminera aisément la na. ture de la courbe IDH ; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puisse considerer comme la Section d'une espece de Cone ou de Cylin. dre, & déterminer par son moyen la nature de la courbe IMH parallele à la base de ce Cone , & de ce Cylindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puis. se supposer être la base d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par son moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non seulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'especes dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué.

On s'est contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections suivantes, toutes les proprietez necessaires pour l’Application de l’Algebre à la Geometrie , en les décrivant par des points trouvez sur des Plans. On ne les a même considerées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur ori. gine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit sur

des Plans, sont précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par consequent leur donner les mêmes noms.

SECTION V.
Où l'on démontre les principales proprietez de la
Parabole décrite par des points trouvez

fur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême. Fig.53. X. | D&F sur cette ligne, étant donnez de position sur

Ne ligne droite DFP, & deux points fixes D, un Plan. Je dis que si l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle ; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points Mem, qui seront à une Parabole.

D E M O N S T R A TI ON. Il est clair qu'ayant divisé DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui seroient menées au-dessus de A par raport à F:mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui seront menées au-dessous de A, comme MPm; d'où il suit que la courbe qui passe par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, passe aussi

par le point A.

Ayant mené FM, & nommé les données, ou constantes AF, ou AD, a ; & les indéterminées, ou variables AP, *;PM,y; FP sera x-a, ou a - *; & FM,

. ou DP, x ta.

Le triangle rectangle FPM donne xx — 2ax + aa + yy=aa + 2ax+xx, qui se réduit à 4ax=yy, ou (en fai

P)px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. no, 8; il suit que la courbe

;

MAM,

X

Tant 40 =

4a

=

& que

!

MAM, est une parabole, dont le parametre est p=48 =4AF=2FD. C. l. F. D. L'équation px=yy peut être résolue par le cercle. Car F1G. 54:

= ayant mené une ligne AB indéfinie, si vous prenez AD =P; d'un point quelconque C pris sur AB, & du rayon CA, vous décriviez le cercle A EG , qu'enfin du point D, vous meniez la perpendiculaire DE, cette ligne DE=y & DB=x. Car par la proprieré du cercle AD x DB=DE. Or AD=p. Donc AD * DB=px, & ED yy. C'est-à-dire

que DB=x & ED=y. Mais comme le rayon CA du cercle peut augmenter à l'infini, * & y augmenteront à l'infini ; & x augmentant,'y augmentera.

COROLLA I RE 1. 1. Il est évident que 2FD. PM::PM. AP:car l'équa-F16.53: tion 4ax = yy, étant réduite en analogie, donne 4a.

49 y :: y. x.

COROLLA IR E II. Il est clair

que

si l'on mene par D la ligne ED paral- F16.53: lele à PM, & par les points Mim qui sont communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites MĖ, me paralleles à PD, elles seront égales entr'elles, à PD, & à FM,& que les parties PM, Pm de la perpendi. culaire MPm, seront aussi égales.

2.

DEFINITION s. 3. LA ligne AP eft nommée l'axe de la parabole; A,F16. 53: le sommet de l'axe, ou de la parabole ; PM, ou Pm l'appliquée ou l'ordonnée ; AP, l'abcisse ou la coupée; F, le foyer; D, le point generateur ; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de A F, ou de AD, le parametre de

, l'axe,

L