SECTION VI. Où l'on démontre les principales propriete de FIG. 58. XII. l'Ellipse décrite par des points trouvez U fur un Plan. PROPOSITION I. J Theorême. NE ligne droite AB, divisée par le milieu en C, & deux points fixes F, G également diftans du milicu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de position ; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles ; ces deux cercles se couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puisque leurs demi diametres furpassent FH + HG. Et je dis que les points M & m, & tous ceux qui seront trouvez de la mème maniere, en prenant d'autres points H, seront à une Ellipse dont C eft le centre, AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui est double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB. DEMONSTRATΙΟΝ. D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaisse la perpendiculaire MP, mené FM & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP fera, a-x; PB,a+x; FP ̧c-xou,x-c; & PG, c+x. = Il est clair par la description que FM + MG = AB 2a; puisque F M=AH, & MG = HB; nommant donc la difference de FM, & MG, 25; FM sera a -f & MG, a + f. Cela posé. CC Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, 2cx + xx + yy = aa - 2af+ ff, & cc + 2cx + xx + yy = aa + 2af+ff, & en ôtant la premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second, l'on aura 4cx = 4af, d'où l'on tire a & mettant cette valeur de s, & celle de fon quarré s dans l'une des deux premieres équations, l'on aura cc aa 2x + xx + yy d'où l'on tire en réduisant, transposant, & divisant par aa CC, Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou = 0; c'est pour quoi en effaçant le terme xx, l'on a aa = aayy aa-cc ou ad cc = yy = CD2, & partant y =+CD : nommant donc CD, 6; l'ona, aa - cc = bb ; d'où l'on tire a - c (AF).b(CD) :: 6 (CD). a + c (FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'é a, aa - xx = xx aayy Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée (Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des aura xx = aa ; donc x=± a, ce qui fait voir que l'El lipse passe par les points A & B. Et en faisant x = o l'on a trouvé y = + CD qui montre que l'Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant CE = CD; c'est FIG. 59. pourquoi (Art. 9. no. 6.) AB, est le diametre principal de On peut réfoudre cette équation aa – xx = aayy aa-cc , puis faire cette analogie, B. a + x. y :: y. z, & l'on aura aa Par yy a + x On fera ensuite cette aa autre analogie, D. a - x. a :: a. = a, & l'on aura Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, z, 10. d'un rayon qui ne soit pas moindre que la moitié d'AB = 2a décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB = 2a, sur laquelle vous prendrez AD = a + c, & DB=a-c par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a est plus petit que a, il faut prendre DG = u plus grand que AB. au 2 A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura xu = aa, ou, au - aa = ux ; ainsi nous aurons cette analogie E. u. a :: a. x. On trouvera x en faisant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AF = u, BF = u — a, AC =a, les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. Enfin pour avoir y, menez, à cause de l'analogie B, la ligne AB, fur laquelle vous prendrez AD = a + x (AK + DC), DB=z. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL = y. FIG.61. FIG. 58. I. DEFINITIONS. LES points F & G font nommez les foyers de l'Ellipse; CP, l'abciffe, ou coupée, & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB. COROLLAIRE I. 2. IL est clair que les lignes FM, GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipse font, par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM = Pm. COROLLAIRE II. 3. IL est aussi évident que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé cc = CD2. Or aa - cc cc = = a + c xac, AF × aa FB=CD2. COROLLAIRE III. 4. On voit par les termes aayy bb de l'équation & par les signes + & - qui les précedent que x croissant, y diminue : car plus x devient grande, plus aa - xx diminue, & par confequent aussi yy; puisque les quantitez constantes aa, & bb demeurent toujours de même grandeur; ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut augmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel cas da - xx devient = aa — aa = 0 ; & par confequent aussi y = 0, ce qui fait voir que les points M & m se confondent alors avec les points A & B, & que l'Ellipse coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué. COROLLAIRE IV. 5. L'EQUATION à l'Ellipse aa-xx = aétant ré 66 duite en analogie donne aa - xx (AP × PB). yy (PM2) :: aa ( AC2) . bb (CD2) :: 4aa (AB2) 4bb (DE2), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de l'axe AB faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE. COROLLAIRE V. 266 6. SI l'on fait AB (2a). DE (26) :: DE (26). 20, la 266 a a ligne = que je nomme p.p sera (Art. 9. no. 13,) le parametre de l'axe AB. Or puisque a . b :: 6. p, l'on a aussi a. 1⁄2 p :: aa . bb; donc abb = aap; donc 24 I 2 - Xx = aura aa aayy P aa 66 ;C'est pourquoi si l'on met dans l'équation aa en la place de, sa valeur, l'on xx = "; d'où l'on tire cette analogie aa - xx (AP × PB). yy (PM2) :: 2a (AB). p, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, est au quarré de l'appliquée; comme le même axe, est à son parametre. COROLLAIRE. VI. 7. IL suit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par son parametre est égal au quarré de l'axe conjugué DE; puisque AB. DE :: DE. p. quoi l'on fera sur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques suivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue. 9. LORSQUE l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse est égal & semblable au terme connu; ou ce qui est la même chose, si cet antécédent renferme les mêmes lettres que le |