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viendroit inutile, c'est pourquoi, dans ces fortes de divifions, il en faut demeurer à l'endroit, où le Quotient est le plus fimple qu'il puiffe être.

54. Il arrive auffi fort fouvent que les coeficiens, ou les nombres qui précedent les termes, ou quelqu'un des termes du dividende, ou du divifeur, empêchent que la division ne se faffe, quand même toutes les lettres feroient dans l'une & dans l'autre difpofées de maniere que la division se pût faire.

55. Il y a auffi des divifions qui ne fe peuvent point du tout faire, ce qui arrive lorsqu'aucun des termes du diviseur ne se trouve point tout entier dans aucun de ceux du dividende : & alors on écrit le divifeur au-deffous du dividende, ce qui forme une fraction que l'on prend pour le Quotient de la divifion, comme on a dit n°. 34.

L'on a fouvent befoin de connoître tous les divifeurs d'un nombre donné, & d'une quantité algébrique donnée pour choisir celui d'entr'eux qui convient à de certaines operations que l'on eft obligé de faire; c'eft pourquoi nous en allons donner ici la Méthode.

METHODE

Pour trouver tous les Divifeurs d'un nombre donné. 56. IL faut diviser le nombre donné par 2, s'il est poffible, & autant de fois qu'il eft poffible, enfuite divifer le dernier Quotient par 3, s'il eft poffible, & autant de fois qu'il eft poffible; de même par 5, par 7, par 9, &c. jufqu'à ce que le dernier Quotient foit l'unité, ou que le divifeur devienne le nombre propofé, auquel cas, il n'a aucun divifeur que lui-même, & ayant écrit dans une rangée de haut en bas tous les diviseurs dont on s'est servi, on multipliera le premier divifeur par le 2°, & on écrira le produit à la droite du 2°. On multipliera enfuite les deux premiers divifeurs, & le produit qu'on a déja trouvé par le troifiême divifeur, & l'on écrira les Produits vis-à-vis le même troifiême divifeur; on multipliera de même tout ce qui eft au- deffus du 4 divi

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feur par le même 4° diviseur, & l'on écrira les Produits à fa droite, & ainfi de fuite, & tous ces Produits seront autant de diviseurs du nombre propose.

EXEMPLE.

SOIT le nombre 150 dont il faut trouver tous les di

viseurs.

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fous de B;

5. 25.50.75. Isa..

Je divise 75 par 3, & j'écris le Quotient 25, & le divifeur 3 fous A, & fous B; je divife 25 par 5, & j'écris le Quotient 5, & le divifeur 5, fous A & fous B; je divife 5, par 5, & j'écris le Quotient 1, & le diviseur 5 fous A, & fous B. Cela fait, je multiplie le premier divifeur 2 par le fecond 3, & j'écris le Produit 6 à côté de 3. Je multiplie tout ce qui eft au-deffus du 3° divifeur s par lui-même, & j'écris les Produits 10, 15, 30, à sa droite; enfin je

multiplie tout ce qui eft au-deffus du 4€ diviseur 5, par lui.

même, & j'écris les Produits 25, 50, 75, & 150; (car on néglige 10, 15 qui s'y trouve déja) comme on les voit. Il eft clair que tous ces nombres qui font du côté de B peuvent diviser fans refte, le nombre donné 150.

57. "C'est la même regle pour les quantitez algebriques. Soit par exemple, la quantité a3+aabb, dont il faut trouver tous les divifeurs.

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a+ba+b. aa + ab. a3+ aab. ab+bb. aab+abb. a3b+ aabb.

I.

Je divife a'baabb par a, & j'écris le Quotient aab+abb,

fous A, & le divifeur a fous B. Je divise aababb encore par a, & j'écris le Quotient ab+bb, & le diviseur a fous A, & fous B. Je divife ab+bb par b, & j'écris le Quotient a+b, & le divifeur b fous A, & fous B. Enfin divife a+b par a+b; & j'écris le Quotient 1, & le diviseur a+b, fous A& fous B. J'acheve l'operation comme celle des nombres, & je trouve tous les divifeurs de la quan tité a3+ aabb au-deffous de B.

RESOLUTION

Des puiffances, ou de l'extraction des racines des quantitez algebriques.

58. EXTRAIRE la racine d'une puiffance, ou d'une quantité algebrique, c'est trouver, par une operation contraire à celle de la formation des puiffances, une quantité plus fimple que la propofée, qui étant multipliée par elle-même autant de fois qu'il eft neceffaire, produife la puiffance ou la quantité propofée.

Il y a autant de fortes de racines qu'il y a de puiffances, & l'on donne à chaque racine le nom de la puiffance à laquelle elle fe rapporte. Ainfi la quantité qu'il ne faut multiplier qu'une fois par elle-même pour produire la quantité ou la puiffance dont elle eft la racine, eft nommée racine quarrée, ou feconde racine; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle-même, pour produire la puiffance dont elle eft la racine, eft appellée racine cube, ou troisiême racine; celle qu'il faut multiplier trois fois, eft nommée racine quarrée quarrée, ou quatrième racine, celle qu'il faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquième racine; celle qu'il faut multiplier cinq fois, racine cube cube, ou fixiême racine, &c.

On fe fert de ce caractere ✔ qu'on appelle figne radical, pour fignifier le mot de racine: mais pour le déterminer à fignifier une telle racine, on y joint l'expofant de la puiffance à laquelle fe rapporte la racine en queftion, & cet expofant eft alors appellé expofant du figne radical. Ainfi 7, ou fimplement V, fignifie ra

cine

3

cine quarrée, ou feconde racine; v, fignifie racine cube quatriême racine, &c. De forte que Vab, ou Vaa+bb Vaa+2ab+bb, fignifie qu'il faut extraire la racine quarrée de ab, ou de aa+bb, ou de aa+2ab+bb, &c.

Il ya des quantitez dont la racine propofée s'extrait exa&tement; d'autres, dont on ne la peut extraire qu'en partie; & d'autres, dont on ne la peut point du tout extraire.

59. Les quantitez dont on ne peut extraire exactement la racine, & qu'on eft obligé d'exprimer par le moyen du figne radical, font nommées, fourdes ou irrationnelles & celles qui ne font affectées d'aucun figne radical, font nommées rationnelles. Ainfi Vab, Vaa+bb, font des quantitez irrationnelles, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée; Vaab eft une quantité irrationnelle, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine cube, &c.

EXTRACTION

Des racines des quantitez incomplexes.

60. PUISQUE (no. 22.) pour élever une quantité incomplexe à une puiffance donnée, il faut multiplier les expofans de cette quantité par l'expofant de la puiffance propofée; il eft clair que pour extraire la racine propofée d'une quantité incomplexe, il n'y a qu'à divifer les expofans de cette quantité par l'expofant du figne radical convenable; ou ce qui revient au même, multiplier les expofans de la quantité propofée par une fraction dont le numerateur foit l'unité, & le dénominateur foit l'expofant du figne radical dont il s'agit, c'est-à-dire, par—, s'il s'agit de la racine quarrée;, s'il s'agit de la racine cube; —, s'il s'agit de la racine quarrée quarrée, &c. car les dénominateurs 2, 3 & 4 font les expofans des fi

d

2 3 4

gnes radicaux V, V, V, &c. L'on rend par-là l'operation de l'extraction des racines, femblable à celle de la formation des puiffances, & l'on a des expofans pour les racines auffi bien que pour les puiffances: careft l'expofant de la racine quarrée;, l'expofant de la racine cube;

2

l'exposant de la racine quarrée quarrée, &c. & l'on peut par confequent énoncer l'extraction des racines, en difant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance &c. au lieu de dire qu'il en faut extraire la racine quarrée, cube, quarrée quarrée, &c.

I

2

I

Si après la multiplication des expofans de la quantité propofée par les fractions dont on vient de parler, les expofans qui font alors fractionnaires, fe peuvent tous réduire en entier, la racine propofée fera une quantité rationnelle; fi une partie de ces expofans se peut réduire en entier, & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne fera extraite qu'en partie, & l'on mettra la partie rationnelle devant le figne radical, & la partie irrationnelle après; fi tous ces expofans demeurent fra&tionnaires, la racine ne fera point extraite, & l'on fe contentera de mettre le figne radical devant la quantité propofée; enfin fi les expofans fractionnaires qui ne peuvent être réduits en entier furpaffent l'unité, la puiffance de la lettre dont ils font expofans, fera en partie rationnelle, & en partie irrationnelle. Il faudra operer fur les coéficiens, comme fur les lettres, en y employant les extractions numeriques des racines, & la Méthode de trouver tous les divifeurs d'un nombre, expliquée n°. 56. Tout ce qu'on vient de dire fera éclairci par les Exemples qui fuivent.

EXEMPLES.

61. SOIT à2 b c dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance; ayant multi

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