Ainsi pour ôter la fraction de cette équation ayant multiplié c par by, l'on aura xx-aa=bi - cy.

— bc Il en est ainsi des autres.

se. Il suit aussi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puissance qu'on voudra d'une même lettre , qui se trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puissance:car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où se trouve cette lettre , & tous les autres termes dans l'au. tre membre , & qu'à faire ensuite la réduction. Par exemple , si dans cette équation ax=bc, l'on veut mettre x seule dans le premier membre, l'on aura en divisant toute l'équation par a ,

: mais ( art. 1. no. 37.) = x; donc x=-: Le second membre ne peut être réduit.

Si dans celle-ci ax = ab + bx - bc, l'on veut avoir x seule dans un des membres , l'on aura en transposant, & en supposant que a surpasse 6, ax — .bx abibc , &

.bx ab — bc en divisant tout par a -6, l'on aura

4-6

4 -6 mais ( art. 1. no. 43 , ou 46.)

x ; donc * * ab - bc

as

bc

bc

ax

ax

:

ax — bac

a-b

Si dans cette équation ax - - bx = aa bb, l'on veut

= avoir x seule , en divisant par a-b, l'on aura

-box

l'on aura yy

24x3
44 - ZaX+XX

Si dans cette équation aaxx + aayy - 2ax' –

2axyy + xxyy = 0, l'on veut mettre yy seule dans le premier

= membre, l'on aura en transposant aayy 2axyy + xxyý = 2ax’ — aaxx , & en divisant chaque membre par aa2ax + XX,

=

Il en est ainsi des autres.

A A x I OM E

Ι Ε II. 24. Les puissances & les racines des quantitez égales sont égales.

Ainsi fix=ta, l'on aura en quarrant chaque membre xx=aa; & si xx=da, les racines feront x=+a; si xx= ab, les racines seront x=+Vab. Si xx= -ab, les racines seront x=+Vab, qu'on appelle racine imaginaire , parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, relles sont toutes les quantitez irrationnelles negatives. {

les racines seront

у

2ax

Vzax

Si yy=2933 =

- 44XX

aa ,

an

20x + Xx

a to

mais (art. 1. no. 66.) V2ax' aaxx = XV 2ax

& Vaa

a *; donc y= Si **.= ax+bb, les racines seront •x = Vi aa + bb: car en transposant, l'on a xx — ax = bb: or si l'on extrait ( art. 1. no. 62.) la racine du premier membre xx-ax, on trouvera qu'il y manque +aa, afin qu'il soit quarré; c'est pourquoi en ajoutant de part & d'autre aa , l'on aura xx — ax+ 2a. 114 mais Vxx — ax + 1 aa =

- ax + aa =( art. 1. no. 62.) . , & la racine du second membre ne s'extrait que par le moyen du signe radical.; donc x a=+vaa +66

= oven transposant *=+Vaa + bb. Si les signes

étoient

1

,

4"

eroient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est ausli parceque les puissances des quancitez égales sont égales, que l'on peut délivrer une équation des

quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les signes radicaux : car s'il ne s'y en rencontre qu'une , après l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens ; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainsi pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=2-xx Vxx + yy, l'on aura en divisant par a — x,

X

XX

20x + yy

V'xx + yy, ou en divisant par Vxx + yy, Vxx+yy -*, & en quarrant chaque membre, l'on aura

2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irration. nelles.

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l’une, & ensuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple , pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation Vxx + yy+Vaa — 2ax+xx + yy=b, l'on aura en transposant, Vaa – 2ax + xx+yy zax + xx + yy =6-Vxx + yy,

=& en quarrant chaque membre, l'on aura aa - 2ax + xx+ py =bb — 26Vxx + yy + xx +yy, & en ôtant ce qui se détruit par la rédu&ion, & transposant, il vient 2bVxx+yy

:bb — aa + 2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx + 4bbyy =6- zaabb + a + 4abbx - 48'x

* + 4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

A X I O M E III. 25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle fubftituer:

8

2

.

C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduir plusícurs équations à une seule , & que l'on en fait évanouir les lettres

que l'on veut, pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques-unes de leurs puissances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

26. On choisir une des équations ( c'est ordinairement la plus simple) & l'on mec seule ( axio. 1. & ses Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir , dans un des membres ; ( c'est ordinairement dans le premier), & l'on sub. stitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de ses puissances, la valeur, ou celle de ses puissances, qui se trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée ; en sorte que cette lettre ne se trouve plus dans aucunc, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choisir la plus simple des équations résultantes , & l'on met seule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir , & l'on substitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On reïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une après l'autre, toutes les lettres

que

l'on a dessein de faire évanouir, ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation. On va eclaireir ceci par des Exemples.

EXEMPLE S. jer. Soient les trois équations A, B, C, dont on veut

A, faire évanouir les deux lettres x & y.

D. x2=bb — 262+ 22 B. *—y=A.

x-+=a. C. 2+y=B.

F. az + b2-=bb - 26&+ 2%:

bza—
G. 222=362+ az — 66.
Je choisis l'équation C pour faire évanouir y,

=b-2, & en quarrant chaque membre ( parceque le quarré de y se trouve dans l'équation A,) j'ai yy

>

X

A. x=yy:

E.

& j'en

tire y

Ebb 26% + 36, & mettant dans l'équation A, pour уу

sa valeur bb - 262 +22, & dans l'équation B, pour y la valeur 6-2, j'ai les deux équations D & F, où y ne le

b trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E pour faire évanouir x, & j'en tire x=a+b-2; & mettant dans l'équation D pour x sa valeur a+b=2, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la transposition, l'équation G, où x & où x & y ne se trouvent plus.

g 2°. Soient les deux équations aa+zax+xx=2yy + zby bb, & yy+by=aa + ax, d'où il faut faire évanouir

y. Je remarque que si la seconde équation étoit multipliée par 2,

l'on
on auroit zyy + zby

= 2aa + 2ax, où les termes où y se trouve,

sont les mêmes que dans la premiere ; c'est pourquoi fi l'on mer dans la premiere pour zyy + 2 by sa valeur + 2aa + 2ax tirée de la seconde, après l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa + 2ax + xx=2aa + 2ax+bb, qui se réduit à xx=da+bb. Il en est ainsi des autrés. 27. On peut encore par le

moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple, si l'on a x'=aab, en supposant ay=xx ; & mercant cette valeur de xx dans l'équation x'=aab, l'on aura axy=aab, ouxy=ab; en divisant toute l'équation par a.

De même, si l'on a xx=ax+bb, en supposant ac= =bb, l'on aura xx=ax+ac; & li l'on a xx=ax+ac, en supposant bb=ar, l'on aura xx= ax + bb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a souvent besoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire sur les équations : voyez l’Application de l’Algebre à la Geometrie, Section 1. art. 2 & 3.

On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres un grand nombre de Theorêmes démontrez sur les raports, proportions, & progressions; mais il y manque la Méthode de les démontrer tous par le même principe, qui est ce qu'il y a de plus à desirer tant en cette occasion que dans toutes les autres parties des Mathematiques. On pourroit cirer de ce que nous avons dit, no. 18, 19,

3

=

а