A

la con

qui est la premiere équation, & qui montre par consequent la verité des deux premieres analogies. Si l'on ajoute , & si l'on soustrait

bd de chaque membre de l'équation ad=bc tirez de l'Hypothese, l'on aura ad + bd=bc+bd, & ad — bd=bc - bd, qui sont semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par consequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

THE ORË ME III. 32. Si deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une meme grandeur c, rationnelle, ou irrationnelle, les pro-. duits ac & bc, seront en même raison que les mêmes quantitez a da b. Il faut prouver que ac. bc :: a. b, ou, afin

que sequence soit en équation , que (no. 29.) abc=abc.

Parceque les deux membres de cette équation sont semblables, il suit (no. 29, &31.) que ce qui étoit proposé est vrai.

COROLL AIRE . IL L est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion , ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux consequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports cessent d'être égaux. 2. Et parceque

les

raports, ou les divisions indiquées sont des fra&ions, il suit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, sans que cette fraction change de valeur. Ainsi en multipliant les deux termes par c.

3. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien ; c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction,

be

b.

=

· bc

dont le dénominateur sera telle quantité qu'on voudra: Ainsi a ou

en multipliant chaque terme par b.

a

ab

I

b

ab

&

og

a

b

c

g

4. Il suit aussi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs semblables , lorsqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination : car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainsi pour réduire à même dénomina

df tion

&
2, ayant multiplié les deux termes de la pre-

abg miere par g, & ceux de la seconde par c, l'on aura cdf

S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainsi

pour
réduire

en même déno.

f mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la seconde par dg, & ceux de la troisième

afg bdg cdf par df , l'on aura

dfgdfgdfg Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, sans les changer toutes d'expression.

gh Ainsi & seront réduites en même dénomination, en multipliant les deux termes de la seconde par d: car l'on aura

dgh se. Il suit encore que c'est la même chose de diviser le denominateur d'une fra&ion, par une quantité quelconque, ou de multiplier son numerateur par la même quantité. Ainsi

abb

A

33.

a

b

• с

с

.

b

c

a

C

THE OR Ê ME

Rê me IV.

E Si l'on divise deux grandeurs quelconques a & b par une même grandeur c, rationnelle ou irrationnelle ; les quotiens

& e feront en même raison que les premieres grandeurs a da b. Il faut prouver que

:: a. b, ou, ayant supposé = 9, que p:q::a.6, ou afin que la consequence soit en équation, que bp=aq.

La premiere équation ( Axio. 1. Coroll.4.) donne a=0p, & la seconde, b=19, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. 1.) acq=bip, ou en divisant par c, aq=bp; donic (Th 2. ) ቀ። , , p.q::a. 6, ou -.- :: a. b, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs

& C. Q. F. D. On pourroit démontrer ce Theorême en cette sorte. La Consequence ::a.b; donne (Theor. 1.) qui est une équation évidente

par elle-même.
2°. C'est aussi par le moyen de ce Theorême que

l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus simples exprefsions. Ce qui se fait en divisant l'antecedent & le consequent de chaque raport par une même quantité, que l'on nomme, commun diviseur ; & les deux quotiens forment un autre raport , ou 'fraction égale à la proposée, mais

à plus simple.

Or il est souvent aisé d'appercevoir ce commun diviseur, & particulierement quand les deux termes du ram port que l'on veut réduire font incomplexes. Mais si on ne l’apperçoit pas par la seule inspection des termes, on cherchera ( art. 1. no. 56. ou 57.) tous les diviseurs de

b

с

aab

ab

ac

l'antecedent, & tous ceux du consequent; & les diviseurs de l'antecedent qui se trouveront aussi parmi ceux du consequent , seront des diviseurs communs ; mais on ne se servira que du plus grand:s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui se trouve auffi parmi ceux du consequent, la frađion ne pourra être réduite à de plus simples termes.

E x E M P L E S. EXEMPLE I se réduit, ou est égal à

en divi. sant chaque terme par leur commun diviseur a.

abcy abd abybd Exemple 2.

en divisant les parties racxVag

XVg tionnelles parc, & les irrationnelles

par

Va. abev abc Exemple 3.

en divisant les parties rationnelles par c, & les irrationnelles

par

vb. * Exemple 4. = , par d': Mais (art. 1. no. 22.)

'; donc a =1, ce que nous avions supposé dans l'endroit que nous venons de citer.

a Exemple s.

en divisant chaque terme par ':

aby ac

d

= *= 1, en divisant les deux termes

3 - 3 a

donc a

ac

mais (art. 1. no. 22.)
ce que nous avions encore supposé au même endroit.

2sab Exemple 6.

en divisant chaque terme par sb. Isbe

dac tabc Exemple 7.

en divisant chaque terme par leur commun diviseur a+b.

b

b

C

a

C

b

C

ab

40

a

Τ Η Ε ο Α Ε Μ Ε V.

R Ê 34. Si l'on divise une même quantité a, par des quantitez

I differentes b ea c, les quotiens feront reciproquement proportionnels à leurs diviseurs. · Il faut prouver que

:: 6.6, ou, ayant supposé =9, que p.q::6. b, ou afin que la conse.

.6.6 quence soit en équation, que bp=cq.

La premiere supposition donne a = bp, & la seconde a=cq; donc ( Axio. 3.) bp=cq; & partant (Theor. 2.)

& P.q::c. 6, ou

:: 6.6, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs . &.C. Q. F. D.

I. On pourroit démontrer plus simplement ce Theorême: car la consequence :: 6.6 donne (Theor...) ou (art. 1. no. 37.) a=a, ou, a-A=0, ou o=o.

THE O R E ME VI. 35. Si trois grandeurs a, b, c, font en proportion continue, la premiere a,

sera à la troifième c; comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la seconde bb.

Il faut prouver que a.ci: aa. bb, ou afin que la consequence soit en équation, que aac=

L'on a (Hyp.)a.b::b.c; donc ac=bb, & partant aac =abb en multipliant chaque membre par a. C. l.F.D.

T E O R E ME

THE ORÊ VII. 36. LORSQUE plufieurs raports font égaux, comme

&c. La somme des antecedens a+c+d, eft à la somme des consequens b + d + e, comme celui qu'on voudra'des antecedens; eft à fon confequent.

.

b

b

abb.

A