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afin que

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=

sl faut prouver que a+c+d.b+d+e :: a. b, ou,

la consequence soit en équation , que ab + bc +bd=ab+ad+ae, ou en ôrant de part & d'autre le terme ab qui se détruit par la réduction, bc+bd=ad+ae.

Les deux premiers raports égaux ( Hyp. ) donnent ad=bc, le premier & le troisiême donnent ae=bd; donc (Axio. 1. Coroll. 1:) bc+bd=adtae. C. Q. F. D.

COROLLA I R E. 37. Il suit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a & b,& le dernier

d'une progression geometrique, on trouvera aisément la somme de tous les termes qui la composent : car nommant la somme des antecedens x; la somme des consequens sera x-a +6. Or par ce Theorême, x.x-a+c::a.b; donc (Theor. 1.)

-a bx = = ax — aa+ac; ou, en transposant, & en supposant ab a> b, ax-bx=aa — ac ; d'où l'on tire( Axio. 1. Cor.s.)

. Ce qu'il faloit trouver. Si a > b, ou ce qui est la même chose, si la progression va en diminuant, & qu'on la suppose infinie , en faisant le dernier terme į=0, l'on aura x= pour

la leur de tous les termes de la progression : car le terme ac se détruit à cause de c=0.

THE ORE
Τ Η Ε Ο R Ε Μ Ε

R E ME VIII. 3. La plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisième grandeur c que la plus petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport à la plus petite b qu'à la plus grande a.

. Il faut prouver, 10. Que 20. Que > -L'on a par l'Hyp. a > b; donc ( par le principe pré

b cedent, & ses explications )

en divisant cha

ad ac

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aa

va

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b

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ac

be

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ab

ab

.

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X

ti

39. Soit a

que le

=

ز

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que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit premierement démontrer.

L'on a encore ( Hyp. ) ab, donc en multipliant chaque membre®de cette inégalité par c, & divisant chaque membre par ab, l'on aura --> ou (art. 1, no. 37.) > Ce qu'il faloit en second lieu démontrer.

Nous avons supposé dans la Mulmiplicacion , & dans la Division, que +x+,&—*— donnoit &

que to x-, ou — *+ donnoit — . En voici la preuve , en supX posant seulement que + x + donne +, dont personne ne doute. bà multiplier par + c. Je dis

produit sera ac bc: car ayant supposé ab=p; l'on aura en transposant a=p+6,& multipliant cette équation par+c, l'on aura ai=pc + bc ; donc en transposant, ac - bc

:pc;

donc abx+6= ac -bc. 40. Soit presentement a bà multiplier parc. Je dis que le produit sera ac + bc : car ayant supposé à - -6 =p, l'on aura en transposant a =p+b; donc en mul. :

= tipliant par-c, l'on aura (no. 39.) — ac=-pc-bc,

ac + bc =- po; donc a -6x-=-ac+bc. 41. Je dis ausli que

- b: car le produit du diviseur

par le quotient, doit donner le dividende , ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit +b: car - ax+b =- ab, qui n'est point le dividende. Au contraire ax-b= + ab, qui est la quantité à diviser. 42. Il est de-là évident

que

d

puisque dans l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs.

REM A R R U E. 1°. Tout le Calcul algebrique est fondé sur les trois Axiomes précedens, & sur les quatre premiers Theorê,

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.

ou

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&

mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par son moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprierez des raports égaux, & inégaux, des proportions , & des progressions geometriques.

2°. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progressions arithmetiques. 3o. Que l'équation qui exprime la consequence ou la veri

que l'on veut démontrer , peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus simples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir.

Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser , & extraire les racines des raports, ou fractions.

ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite fans changer aucun signe ; & pour les soustraire, on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur ; & après avoir réduit ( art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre

les numerateurs semblables, on prendra pour la somme , ou pour la difference , celles des deux expresfions qui sera la plus simple.

E x E M P L E S. Pour ajouter

ab to ad

Pour ajouaabt qabb

aabt ter

avec

l'on écrira a' - 2aabb +64

at - 2aabb to be dabb

ou après les avoir réduites en même déno44 bb

mination

cas,

ab

ad

avec

l'on aura

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art. 1. no. 11.) azaabb + b*

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bb

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d

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CC - cd

aabt + 'a'bb aab4
mination,

at - 2aabb +64
qui est une expression plus simple que la premiere.
ab

bb Pour soustraire de

l'on écrira
6-d
ab

ou, après leur avoir donné un même dénominateur
aac bbc
- aad + bbd abc

La premiere expression est la plus simple.

MULTIPLICATION. 44. ON multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l’un par l'autre; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. Soit à multiplier par

Ayant supposé

à
bc

abcc
=9
Il faut
prouver que = P4
bd

d
La premiere supposition donne ac = = bp , & la secon-
de , bc
dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1. ). abcc = bdpq;

abcc donc ( Axio. 1. Coroll. 5.)

=

C. l. F. D.

bd De même

ou ( Theor. 3. Coroll. 3. ) bb + cd abs + abcd abb + acd

en divisant les deux b bc

ab

d abd termes par b. Par la même raison 6 x d, ou

ac

bc

ac

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=p,&

b

b

acc

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45. Le produit de deux raports differens & cãi est appellé raport composé, ou raison composée ; & le produit

mulciplié par lui-même , est appellé raport doublé, ou raison doublée.

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DI V I S I O N. 46. Le produit du numerateur du dividende par le dénominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur , sera le denominateur du quotient. On · réduira ensuite le quotient à son expression la plus simple.

Soit proposé le raportà diviser par . Ayant fupposé --- =P,& P, &=q. Il faut

faut prouver que

.

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ab

ac

ab

ac

acb

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ACC

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bb

CC

ab

ср

,ou, en mul

45

bq

La premiere supposition donne ab=0p; la seconde, ac=bq; donc ( Axio. i. Coroll. 1.) tipliant chaque membre parb, & divisant chaque membre par c,

C. l. F. D. De même divisé par d, ou par “, donne som

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Des racines des quantiteż fraftionnaires. 47. Il est clair

par les regles de la multiplication des fra&tions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à excraire celle du numerateur, & celle du dénominateur & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la racine de la proposée. Ainsi v

II. en est ainsi des autres. « Les mêmes operations sur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier.

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