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qu'elle a pour expofant l'unité, quoiqu'on ne l'écrive point. Ainfi a exprime la même chofe que a', ou 1a', ab, la même que a'b', &c.

REMARQUE.

17. DE même que la multiplication de deux lignes droites engendre ou produit un rectangle, ou un quarré, fi elles font égales, la multiplication de trois lignes droites, un parallelépipéde, ou folide, ou un cube, fi elles font égales : par la même raifon les Algebriftes appellent rectangle algebrique, le produit de deux let tres differentes, comme ab; quarré algebrique, le produit d'une lettre par elle-même, comme aa ou a'; foli de algebrique, le produit de trois lettres differentes comme abc, ou aab; cube algebrique, le produit d'une lettre multipliée confécutivement deux fois par elle-même, com. me aaa, ou a3, ou b'. Mais ils n'en demeurent pas là,& quoiqu'il n'y ait point dans la nature de folide qui ait plus de trois dimenfions, ils ne laiffent pas que d'en imaginer d'algebriques dont le nombre de dimensions va à l'infini, comme a3, a*, a', ao, a3b, aabb, a3bb, a3 b3, &c. Et ces quantitez algebriques font d'autant plus compofées, que le nombre de leurs dimenfions eft grand; de forte qu'un produit algebrique qui a quatre dimenfions, eft plus compofé que celui qui n'en a que trois ; celui qui en a trois, eft plus compofé que celui qui n'en a que deux, &c. Et le nombre des dimenfions d'un produit algebrique est égal au nombre d'unitez que contient la fomme des expofans des quantitez qui le forment. Par exemple, ab eft un produit de quatre dimenfions, parceque 3 expofant de a,+ 1 expofant de b=4. ab eft un produit de fept dimenfions, parceque 3+4=7. Il en est ainfi

des autres.

Ils appellent puiffance, ou degré, le produit d'une quantité algebrique multipliée par elle-même une fois, deux fois, trois fois, & ainfi à l'infini. Ainfi a, ou a' eft le premier degré, ou la premiere puiffance de a ; aa ou a”,

le fecond degré, ou la feconde puiffance, ou le quarré de a; a', le troifiême degré, ou la troifiême puiffance ou le cube de a; a, le quatriême degré, ou la 4 puiflance, ou le quarré quarré de a; a', le cinquième degré, ou la șe puiffance, ou le quarré cube de a; a, le fixiême degré, ou la fixiême puiffance, ou le cube cube de a; a', le feptiême degré, ou la feptiême puiffance de a, & ainfi à l'infini, d'où l'on voit que les puiffances tirent leur nom de leurs expofans.

18. Une puiffance peut auffi être regardée comme le produit de deux puiffances, ou comme la puiffance d'une autre puiffance: ainfi a peut être regardée comme le a° produit de a' x a, ou comme la feconde puiffance de a3, ou comme la troifiême de a'.

19. Il y a auffi des puiffances faites du produit de deux ou plufieurs lettres multipliées l'une par l'autre : ainfi aabb, eft la feconde puiffance de ab; où a'b', la troisiême puiffance de abb. Il en eft ainfi des autres.

DEFINITION.

20. SI deux quantitez differentes, ou égales forment un produit ou une puiffance, ces quantitez font nommées côtez ou racines de ce produit ou de cette puiffance. Ainfi a & b font les côtez, ou les racines de ab; a le côté ou la racine de aa, &c.

FORMATION

Des puiffances des quantitez incomplexes. IL eft évident (no. 17) que pour élever une quantité incomplexe à une puiffance donnée, il n'y a qu'à multiplier cette quantité par elle-même autant de fois moins une que l'expofant de la puiffance donnée contient d'unitez. Ainfi pour élever ab à la troifiême puiffance, il faut multiplier ab deux fois par elle-même, ce qui donnera a’b3. Il en eft ainfi des autres.

22.

22. D'où il est aisé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Expofans de la grandeur donnée par l'Expofant de la puiffance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainfi la

I I

IX3 IX3

3.3

3e puiffance de ab, ou a b'est a bab; la 4e puif

3X4

12.

2 3

fance de a eft a =a ; la 3e puissance de aab', ou a b'

2X3 3X3

eft a b

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6.9

3×3 — ab'; la 3e puiffance de.

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a eft

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a, ou - A

=—a'; la quatrième puiffance de -dou

IX4

4

a =-a, & en general la puiffance n de a

m

a La puiffance n de-a eft+a

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gnifie un nombre pair, ou impair.

mn

felon que n fi

23. Il eft clair (no. 14, & 15) que pour multiplier un produit ou une puiffance par un autre produit, ou par une autre puiffance où fe trouvent les mêmes lettres, il n'y

a qu'à ajouter leurs Expofans.

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24. ON multipliera tous les termes de l'une des
titez par chacun de ceux de l'autre, en observant les
Regles prefcrites no. 14, & 15, & l'on aura le produit
total que l'on réduira (no. 11.)'à fa plus fimple expreffion.

b

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Produit total.

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zac.

D. +3ab +6bb—3bc.

E. 2aa+7ab ―2ac6bb—3bc. Le premier terme 2a de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité C.

Le fecond terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité D; & ayant fait la réduction des deux quantitez C & D, l'on aura la quantité E qui fera le produit des deux quantitez A & B. Donc a + zb —c × 2a+3b=2aa+7ab—2ac 6bb3bc.

26. Soit la quantité à multiplier par

A. aa + bb.
B. aa-bb.

Produits particuliers. SC, a + aabb.

Produit total.

D.

4

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aabb-b4.

E. a 6.

Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité C. Le 2 terme-bb de la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduisant les produits particuliers C & D, l'on a le produit total E. Donc aa+bb x aa—bb=a* b*.

27. On fe contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quantitez complexes, d'écrire entre deux le figne de multiplication.

Ainfi pour multiplier a+b par a-b, l'on écrit a+b xa—b, oua+b xa-b. Il en est ainsi des autres.

FORMATION

Des puifances des quantitez complexes.

28. POUR élever une quantité complexe à une puiffance donnée, il faut, comme pour les quantitez incomple

G

xes, la multiplier confécutivement autant de fois moins une que l'expofant de la puiffance donnée contient d'unitez. Ainfi pour élever a+b, à la 3e puissance, il faut (n°. 24.) multiplier ab par a+b, ce qui donne aa+2ab +bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a3 + 3aab+3abb + b3, qui eft la 3e puiffance, ou le cube de a+b. Il en est ainsi des autres.

On peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un polynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou — deux fois le rectangle ou produit du premier par le second,

le quarré du fecond; & ces trois termes feront le quarré cherché, fi c'eft un binome. Mais fi c'est un trinome, on écrira encore + ou — deux fois le produit des deux premiers par le troifiême le quarré du troifiême. Si c'est un quadrinome, on écrira encore + ou deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme. + le quarré du quatrième, & ainsi de suite. Ainfi 2ab+bb + zac le quarré de a → b+c est aa —

- CC.

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2bc

On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a trèssouvent befoin de cette operation dans l'application de l'Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus confiderable pour élever un binome à une puiffance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puiffance donnée, au fecond la même lettre élevée à une puiffance plus baffe de l'unité, & multipliée par la feconde lettre; au troifiême, la même lettre élevée à une puiffance encore plus baffe de l'unité & multipliée par le quarré de la feconde ; & ainsi de suite, en abaiffant à chaque terme la puiffance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du fecond de l'unité, jusqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimenfion qui fera le pénultiéme, & l'on écrira au dernier terme la feconde lettre élevée à une puiffance égale à celle du premier. Ainsi

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