xx+ a multipliant xx+, produit x*+ axx +÷aa; enfuite l'on écrit xx - ÷ a + √ ÷ aa + bb, & fi l'on extrait encore la racine quar rée de chaque membre, l'on aura x = √ —÷a + √ ÷aa+bb. Soita = 6, b b=8.x=√ — 6 + √ 36 + 6.4 = √ 6+ √100 =√—6+10 = √ 4 = 2. La feconde racine, qui eft fausse, sera √=aa+bb, xx— — —a— √ ÷ aa bb, + x xx 2 →V÷aa+bb. 10 = √ 16, qui eft encore imagi naire. Les deux racines s'expriment ainsi x = 2 ✓ a + V÷aa + bb. on auroit pu en trouver quatre x + ✓ — — a ± √ ÷ a a+bb, parce que les racines du quarré x x font ±x. L'on extrait les racines de toutes les équations, lorfque les expofans des trois termes font en proportion continuë arithmetique dont un eft zero; mais les racines ne font pas toûjours toutes quarrées. Soit proposée l'équation x* — 2 ax3 —bb, les expofans des termes font 6,3,0, en proportion arithmetique continue, puifque le double du terme moyen est égal à la fomme des extrêmes. Ajoûtez aa dans les deux membres Vous ferez x 2 ax3 + aa = aa + bb, dont la premiere racine quarrée est x3 — a = √ a a+bb, parceque x3 — a multipliant x3 produit x — 2 ax3 + aa, x3 = a + √ ã a + bb, dont vous pouvez encore extraire la racine cubique x = √ C. a + √ aa + bb. La feconde racine quarrée de x — 2 ax3 + aa=aa+bb, est x3 + a = √ a a + bb, x3 = a - Vaa+bb, & la racine cubique x= √ C. a ~√ aa+bb• Les deux racines feront x=√ C. a ± √ aa + bb. Mais cette racine ne peut pas fe connoître par la regle & le compas feulement; ainsi le Problême n'est pas plan. Il l'auroit été, fi l'on avoit pu extraire la racine quarrée — a = √a aa+bb. V. L. 3. Part. 3. Sect. 3. Art. 1. n. 2. de x l'in La Methode pour refoudre les équations quarrées, de laquelle on vient de parler, demande que toutes les grandeurs, qui multiplient au second terme l'inconnuë, dont on cherche la valeur, foient exprimées par une feule lettre connue, & que toutes les grandeurs, qui ne multiplient pas connue, & qui compofent le troifiéme terme, foient exprimées par un quarré connu. C'eft pourquoi lorfqu'il y a plufieurs feconds ou troisièmes termes, dans lesquels ils fe trouve des inconnuës: comme dans l'équation zz=2cdz CX Z cdx. + L'on commence par determiner l'indeterminée x à representer une quantité arbitraire g; ce qui reduit l'équation à n'avoir que z d'inconnuë, & c'est zzzcdz ༦Ç༧. abc+cag: Enfuite l'on cherche +f+ 2cd ~ cg, fi 2cd eft plus grand que cg, 2d plus grand que g; ou -f, fi 2d eft moindre que g l'on cherche auffi+hbou - bb M. DESCARTES la demande. 2. Après avoir montré comment l'Algebre donne les racines des équations quarrées, voyons comment la Geometrie les peut exprimer en lignes refoudre les Problêmes plans. pour ༧— La racine vraye = a + √ ÷ aa+bb de l'équation zz = az + bb FIG.14. fe trouve de cette forte Fig. 24. Faites le triangle rectangle NLM, dont le côté LM eft égal à b, le côté NL = le côté NL = a; & dont la ligne NM est la base: enfuite du point N comme centre, de l'intervale NL décrivez le cercle LPO, & prolongez MN en O. La ligne MO est z. FIG. 25. 4 Dém. MNNL+LM2, aa+bb, & MN = √÷aa + bb. NO=NL, a: donc la toute MONO + NM, a+ √÷aa + bb z. Ce qu'il falloit démontrer. La racine fausse z ✔aa + bb de la même équation zz = az+bb fe trouvera aifément. Il faut fur MN couper MHNL, a ; & après avoir prolongé NM du côté de K, prendre HK= NM,√ aa+bb. La ligne MK est z. 2 Dém. MK eft + MH-HK, + —a— √ ÷ aa+bb = =z. Ce qu'il falloit démontrer. La racine vraye y = a + √ aa + ay+bb fe trouve comme la vraye z = l'on ne prolonge pas MN en O. La ligne : Dém. MP est MN NP, √ démontrer. 1 4 I aa + bb — — a = y. Ce qu'il falloit La racine fauffe y = aa+bb de l'équation yy = — ay ← bb fe trouve en prenant MF NL, FG MN, la ligne MG eft Đêm.MG =MF+FG,—÷a — √ ÷ aa+bby: car les quantitez qui ont été prifes en allant de M vers O étant pofitives; celles qui fe prennent de l'autre côté en allant vers G, font negatives. Ce qu'il falloit démontrer. Il est évident que la racine fauffey = MG eft égale à la racine vraye z=MO, puifque on a pris MFNL NO, & FG MN. La racine fauffe z MK eft auffi égale à la racine vraye y MP: car MP-MN- NP, & MK est la ligne HK = MN, dont on a retranché MH— NP. = = La premiere racine vraye, qui s'appelle la plus grande vraye, z=— « +√—a a — bb de l'équation zzaz— bb fe trouve de cette maniere Fig. 25. Soit NL=a, LMb, l'angle NLM droit; tirez l'infinic MR parallele à NL, l'angle LMR eft auffi droit 29. 1.'Eucl. Du point Fie, sjö N comme centre & de l'intervale NL decrivez le cercle LQR, qui coupe la droite MR aux points Q, R. Joignez NQ, & menez NP perpendiculaire fur MR. La ligne MR eft z. Dém. 34. 1. Eucl. NPLM, b; PM⇒ NL, a; NQ= NL, a. Et 3.3. Eucl. PQ=PR. Maintenant dans le triangle NPQ rectangle en P, PQ NP2, aa — bb, & PQ, V÷a a — b b = PR: donc MR=MP+ PR, a + √ ÷ aa — bb : a + √ ÷ aa — bb — 2. Ce qu'il fal loit démontrer. 2 = NQ 2 La feconde racine vraye, qui s'appellè la plus petite vraye, z=2a✔aa — bb de la même équation zz = az — bb, eft MQ. Dém. MQ=MP-PQ, a — √ ÷aa — bb = démontrer. — √ — aa — bb — 2. Ce qu'il falloit Lorfque ab, vaa — bb = o, les deux racines les deux racines vrayes & égales font = སྐྱ dont on connoît d'abord la valeur. Mais il faut montrer, fi on vouloit la chercher dans cette figure, la ligne qui l'exprimeroit que toucheroit le cercle. Pour cela faites Lm, b= NL, a, & le cercle LQR étant décrit, tirez Np parallele à Lm; Np fera rayon du cercle, égale au rayon NL & à la ligne Lm. Joignez mp› elle eft za & touchante du cercle en p. Dém. Les lignes Lm Np font paralleles & égales: dont 33. 1. Eucl. Les lignes NL, mp font auffi paralleles & égales ; donc mp = ža. De plus dans le parallelogramme NLmp l'angle NLm eft droit donc 340 1. Eucl. l'angle mp N eft auffi droit ; & 16. 3. Eucl. mp eft touchante en p Ce qu'il falloit démontrer. ra, : Quand NL,a eft moindre que LG, b; la parallele GH ne toucheni ne coupera pas le cercle, & rien ne determinera la valeur de z fur la ligne GH.. Ainfi l'on voit que la figure de la Geometrie nous avertiroit de l'impoffibilité du Problême, fi nous ne nous en étions pas apperçus par l'examen de l'équation Algebrique. Si l'on prolongeoit la ligne RM vers S, & que l'on prît une ligne égale à MR; l'on auroit la plus grande racine fauffe y=- a-V aabb de l'équation yy =ay-bb. Et fi l'on prenoit une ligne égale à MQ; elle feroit la plus petite racine fauffe y - — a + √ ÷ a a même équation. Lorfque les deux racines font y=a, la ligne fera égale à mp; lorfque a fera moindre queb, la ligne MS ne touchera, ni ne coupera le cercle. bb de la Les raeines y == — a ± √ 1 aa — bb de l'équation yy = — ay — font les mêmes lignes que les precedentes: mais comme elles font toutes. G üj FIG. 25. deux fauffes, il les faut prendre de l'autre côté du point M. M. DESCARTES n'en parle point, parce que les racines fauffes ne donnent une folutiou exacte du Problême. FIG. 24. pas ax2 + = a + La racine x = √ —÷a + √÷aa+bb de l'équation x✦ bb fe trouvera Fig. 7. fi je prens GH MP Fig. 24. = √ ÷ aa + bb, & qu'après lui avoir ajoûté GF=a, que je prens pour l'unité, je décrive fur le diametre FH le demi-cercle FIH. Car la diculaire IG eft x. perpen Dém. 13. 6. Eucl. IG eft moyenne proportionelle entre l'unité FG, a, & le quarré GH,- {a+V÷aa+bb=xx: Mais la racine x eft moyenne proportionelle entre l'unité & fon quarré xx; car : x : : x : ** xx: donc la ligne IG eft x. Ce qu'il falloit démontrer. x x I L'on pourroit Fig. 24. décrire un cercle fur le diametre NM, & élever au point P une perpendiculaire jufqu'à la circonference : cette perpendiculaire feroit x. Pour ce qui regarde x = √ C. a+ √ aa+bb, racine de x 2ax 3 bb, il faut extraire une racine cubique; c'est ce qu'on fera L. 3. Part.4. Sect. 1. Art. 1. Ex. 1. Si dans toutes ces équations il y avoit le plan cd, au lieu du quarré bb : vous prendriez une moyenne proportionelle entre & d, laquelle vous nommeriez b ; & vous auriez c: b::b: d, & cd = bb. Il ne resteroit plus qu'à fubftituer bb à la place de cd. Si au lieu de bb, il y avoit feulement : vous prendriez une moyenne proportionnelle entre a, que nous avons fuppofée être l'unité, & c; pour avoir : b:: b: c, & c = bb. Autres manieres de refoudre les Problêmes plans. L'Algebre & la Geometrie fourniffent également d'autres methodes pour 1. M. DESCARTES donne L. 3. Part. 2. Sect. 2. Art. 3. une regle pour transformer les équations de toutes fortes de degrez par l'évanouillement du fecond terme. Cette regle peut s'appliquer aux équations du second degré de cette forte. Soit propofée l'équation zz = az + bb, ouzz — az=bb. L'on joint l'inconnue z avec la moitié de la quantité connuë a, qui multiplie l'inconnuë z au fecond terme & l'on donne à cette moitié le figne, qu'elle a dans l'équation ainfi ordonnée zz-az = bb : ainfi l'on prend ici z a, que l'on égale à une nouvelle inconnue x ; c'est z = x, x + /a = 2. Enfuite l'on fubftitue dans l'équation pro a ÷ aa=bb aa. L'on ajoûte les valeurs xx + ax + ‡aa, — ax — — aa, la fomme eft xx 4 La transformée fera donc xx aa = b b ; x x =÷aa+bb ; x = Vaa+bb. Maintenant je remets pour x fa valeur z-a, pour avoir — { a = √ aa + bb, z=÷a+ √ ÷ aa+bb, comme on l'a trouvé Art. 1. n. I. ༤ Soit propofée l'équation yy = — ay + bb, ou y y + ay bb. Vous I ferez y av, 2 av + ÷ a a; & à la place de y fa valeur Soit propofée l'équation x-ax2 + bb, ou x*+ax2- bb, Nous ferons xx+4=2, 2— a= xx. Nous mettrons zz-az + — aa valeur de x* à fa place dans la propofée, & + az — aa. Valeur de + axx. Nous ajoûterons les deux valeurs, la fomme fera zz- {aa=x^+axx bb. La transformée eft donc zz - Laa = bb; zzaa Laa +; bb; z = Vaa+bb. Nous remettrons pour z fa valeur xx+a, & nous trouverons xx+¦a=√ ÷ aa+bb; {a+ V¦aa+bb ; x = √ — ÷ a + √ aa + bb. Comme Art. 1. n. I. xx = 2. L'équation zz = az + bb peut fe conftruire avec une hyperbole équilatere. Soit Fig. 99. AN, a An, & l'axe determiné Ñn, a; F16,99. fur l'axe conjugué coupez AD=b; menez D C parallele à l'axe AB, & CB parallele & égale à AD. Je dis que n B eft z. Car NB fera nB — z-a; & par la nature de l'hyperbole équilatere, nB × NB = CB2, zz —az=bb zz=az + bb. NB eft z pour l'équation zz-az + bb, que je mets à la place de ay+bb. Car n B fera n N + NB, z+a; & par la nature de la même hyperbole, n BX NB = CB ̊, zz + az⇒ bb, zz = az + bb. t |