FIG. 46. il du 4. De la Quadratrice. Etant donné le quart de cercle ABCD Fig. 46. avec la tangente AH. L'on fait tourner le rayon AB autour du centre B, & parcourt en tems égaux parties égales de la circonference ADC; tandis que la droite AH defcend le long du rayon AB, toûjours parallele à ellemême, & parcourant auffi en tems égaux parties égales du rayon : de forte & le quart de l'arc ADC foient parcourus en même rayon quart tems, la moitié du rayon & la moitié de l'arc ADC auffi en même tems, &c. & que le AB & la droite AH tombent en même tems fur BC. L'interfection continuelle E, e de la ligne AH avec le rayon décrira la courbe AEF, dont l'inventeur eft Diocles, & qu'on a nommé Quadratrice, parcequ'on s'en eft fervi pour la quadrature du cercle. que le rayon quart Nous aurons l'équation de la quadratrice, en nommant le quart ADC de la circonference du cercle, a'; le rayon AB, b; car ces deux quantitez font données; les abfciffes AG, Ag, x; les arcs correfpondans du de cercle AD, Ad, y. Et l'on aura cette Analogie, comme la circonference ADC, a parcouruë en une minute, au rayon AB, b auffi parcouru en une minute de même l'arc AD, y parcouru en un quart de minute eft à la ligne AG, x auffi parcourue en un quart de minute; by ax, y = ax. FIG. 47. : La Quadratrice eft une ligne méchanique; parceque les arcs AD, Ad tiennent lieu d'appliquées; que les abfcifles & les appliquées ne fe rencontrent qu'au point A ; & que pour avoir le rapport exact des x & des y, il faudroit connoître exactement le rapport des arcs de cercle avec des lignes droites. 2 L'on pourroit prendre les AG, Ag, x pour abfciffes; les GE, Ge, z pour appliquées ; & nommer les EK, ek, v; puifque le rayon AB eft b, tout le diametre du cercle eft 2b; ainfi comme on l'a dit fouvent en parlant du cercle G K2, gk2 eft 13. 6. Eucl. 2 bx-xx, & GE, z=GK EK, Vzbx- -xx-v; l'on a donc à chaque point E de la quadratrice l'équation z=−v+√z b x z=-xx, mais il y a trois inconnuës, & deux arbitraires, avec lesquelles je ne puis pas certainement décrire la quadratrice; car ayant déterminé AG, x; il ne m'eft plus permis de faire EH, v de la grandeur qu'il me plaît, mais elle doit être d'une certaine grandeur, comme on le voit par la defcription de la quadratrice. 5. La courbe ADd Fig.47. fe décrit de cette maniere. Du point B comme centre l'on décrit un cercle ACaF, fur lequel on prend un point fixe A; l'on tire les rayons BC, Bc; l'on fait les CD, cd moyennes proportionelles entre les arcs AC, Ac correfpondans, & une droite donnée b; l'on joint les points D, d, d, & la courbe ADd eft décrite. L'on aura fon équation, en' nommant les rayons BC, Bc, a; les arcs AC, Ac, x; qui feront les abfciffes; les appliquées BD, Bd, y; les DC, DC, de feront BC truction, DC2 DC2 = y a BD, Bc — Bd, a—y. Maintenant par la conf- y = √hx, De plus parceque après que les AC, Ac ont une fois parcouru toute la circonference, l'on peut continuer à les prendre, en regardant le point A comme leur origine, de forte que les abfciffes foient toute la circonference + AC, & enfuite deux fois toute la circonference + AC, & ainfi à l'in fini, il fuit que la courbe ADd fait plufieurs tours & se coupe en differens points. Cette courbe eft mechanique, parceque fes abfciffes font des arcs, fes ordonnées partent d'un même point B, & ne font point paralleles entr'elles, & ne font aucun angle avec les abfciffes correspondantes, qu'elles ne rencontrent pas. Elle coupe aussi son axe AB en plusieurs points. 6. B Mm Fig. 48. eft une courbe, dont AC eft l'axe, CM une appli- FIG. 48; quée, AD la tangente, AC la foûtangente. L'on appelle foûtangente d'une courbe la partie AC du diametre prife depuis le point C, où l'ordonnée C M, qui vient du Contact M, coupe le diametre, jufqu'au point A, où la tangente MA, qui touche au point M, coupe le même diametre. Une proprieté de cette courbe; c'eft que la foûtangente est toûjours égale à une ligne donnée b. Menez cm infiniment proche & parallele à CM, & mf parallele & égale à Cc. Les droites Ccmf, Mf, & l'arc Mm font infiniment petits. L'on nomme C M,y; Mf, dy, c'est-à-dire difference de y, parceque c'est la difference infiniment petite, dont CM, y differe de cm, y. Et prenant E pour l'origine des x; on aura Ec, x; Cc, dx, c'est à dire difference de x, parceque c'eft la difference infiniment petite dont EC, x differe de Ec, x. L'arc Mm, parcequ'il eft infiniment petit, peut paffer pour une ligne droite: ainfi dans les triangles équiangles ACM, Mfm, AC, b: CM, y:: mf, dx: ƒM, dy; y = by équation differentielle de la courbe BM, laquelle fe nomme la Logarithmique. Elle eft méchanique, parceque le rapport d'un de fes points quelconque M avec le point C correfpondant de l'axe ne peut s'exprimer, que par une équation, où il entre des termes tirez du calcul differentiel, FIG. 49. SECTION III. De l'inftrument inventé pour trouver plufieurs moyennes proportionelles. V M. DESCARTES. A Oyez Fig. 49. les lignes AB, AD, AF & femblables que je fuppofe avoir été décrites par l'aide de l'inftrument Xxîz, qui eft compofé de plufieurs regles tellement jointes, que celle, qui eft marquée rZ étant arrêtée fur la ligne AN, on peut ouvrir & fermer l'angle XrZ; & que lorfqu'il eft tout fermé, les points B, C, D, F, G, H font tous affemblez au point 4; mais qu'à mefure qu'on l'ouvre, la regle qui eft jointe à angles droits avec XI' au point B pouffe vers Z la regle CD, qui coule fur YZ en faisant toûjours des angles droits avec elle, & CD pouffe DE, qui coule tout de même fur TX en demeurant parallele à BC, DE pouffe EF, EF pouffe FG, celle-ci pouffe GH. Et on en peut concevoir une infinité d'autres, qui se pouffent consecutivement en même façon, & dont les unes faffent toûjours les mêmes angles avec rX, & les autres avec YZ. Or pendant qu'on ouvre ainsi l'angle XYZ, le point B décrit la ligne AB, qui eft un cercle, & les autres points D, F, H, où se font les intersections des autres Regles décrivent d'autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernieres font par ordre plus compofées que la premiere, & celle-ci plus que le cercle. Mais je ne vois pas, ce qui peut empêcher, qu'on ne conçoive aussi nettement, & auffi diftinctement la defcription de cette premiere que du cercle, ou du moins que des Sections coniques; ni ce qui peut empêcher, qu'on ne conçoive la feconde, & la troifiéme & toutes les autres, qu'on peut décrire, auffi-bien que la premiere, ni par confequent qu'on ne les reçoive toutes en même façon pour fervir aux fpeculations de Geometrie. La construction de cet inftrument eft aifée à comprendre, comme auffi le mouvement de toutes ces regles, fi l'on fait reflexion, que la premiere |