ARTICLE II. La convexité de l'une des fuperficies des verres a la proportion donnée avec la convexité de l'autre. P M. DESCARTES. FIG. 214. Com Ofons maintenant pour l'autre cas, Fig. 214. 215. qu'on ne Fr. donne que les points G, C & F, avec la proportion qui eft en- 215. tre les lignes AM & YM, & qu'il faille trouver la Figure du verre ment on ACY, qui faffe que tous les rayons, qui viennent du point G, s'al- peut faifemblent au point F k ge+dk -e re un verre, qui air AC le même effet, que les te prece dent: la té de l'u Superfi celle de On peut dérechef ici fe fervir de deux Ovales, dont l'une ait G & H pour les points brûlans; & l'autre CY ait F & H pour fiens. Et pour les trouver, premierement fuppofant le point H qui que est commun à toutes deux être connu, je cherche AM par les trois convext points G, C, H, en la façon tout maintenant expliquée; à favoir ne de fes prenant pour la difference, qui eft entre C H & H M, & g pour ces ait celle qui eft entre G C & GM: & AC étant Fig. 214. la premiere tion donLapropor partie de l'Ovale du premier genre, j'ai pour A M. Puis-je née avec cherche auffi MY par les trois points F, C, H, en forte que c¥ foit l'autre. la premiere partie d'une Ovale du troifiéme genre; & prenant y pour MY, & f pour la difference, qui eft entre C F & F M, j'ai f+y pour celle, qui eft entre CF & FY: puis ayant déja k pour celle, qui eft entre C H & HM, j'ai k + pour celle qui eft entre CH & HY, que je fçai devoir être à f+y, comme e est à d, à caufe de l'Ovale du troifiéme genre, d'où je trouve que you MY est f*=**. Puis joignant ensemble les deux quantitez trouvées pour AM & MY, je trouve fe pour la toute AY. D'où il fuit que de quelque côté que foit fuppofé le point H, cette ligne Ay est toûjours compofée d'une quantité, qui eft à celle dont les deux ensemble G C & C F furpaffent la toute GF, comme e la moindre des deux lignes qui fervent à mesurer les refractions du verre proposé est à d— e la difference qui eft entre ces deux lignes; ce qui est un affez beau Theorême. fe d dz 179. 197. ge d-e H Or ayant ainfi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doivent avoir fes parties AM & MY; au moyen de quoi, pou ce qu'on a déja le point M, on trouve auffi les points A & Y, & enfuite le point i par le Problême precedent. Mais auparavant il faut regarder, fi la ligne A M ainfi trouvée eft plus grande que , ou plus petite, ou égale. Car fi elle est plus grande, on apprend de là que la courbe AC, Fig. 214. doit être la premiere partie d'une Ovale du premier genre, & CY la premiere d'une du troifiéme ainfi qu'elles ont été ici fuppofées. Au lieu que fi elle eft plus petite, cela montre que c'eft CY, Fig. 2 1 5. qui doit être la premiere partie d'une Ovale du premier genre; & que AC doit être la premiere d'une du troisiéme. Enfin si AM est égale à les deux courbes AC, & CY, Figure 216. doivent être deux hyperboles. d 1. Dans ce cas on donne la proportion d'une convexité à l'autre, c'està-dire que l'on vous détermine la proportion que la ligne AM, dont le point A eft le fommet d'une convexité CA, doit avoir avec la ligne MY, dont le point Y eft le fommet de l'autre convexité CY.' Car on n'entend pas autre chofe ici par la proportion des convexitez: de forte que fi AM étoit égale à MY, on diroit que les convexitez CA, CY font égales, quoique l'une des lignes courbes, comme AC fût en effet bien differente de l'autre courbe CY, & que la courbure de l'une fût beaucoup plus grande que la courbure de l'autre. Comme ce cas doit produire les mêmes effets que le precedent; il ne doit pas feulement traiter des rayons d'incidence, qui partent d'un point a de l'axe GA, & qui vont fe rétinir à un autre point F du même axe: mais encore des rayons, qui viennent dans l'air paralleles à l'axe GA, & qui doivent fe réunir à un point donné F. Voyez n. 7. fuivant, pourquoi M. DESCARTES n'a rien dit des rayons paralleles. la 2. La convexité CA, Fig. 214. du verre ACY eft la même, que FIG. premiere partie AC, Fig. 179. d'une Ovale du premier genre. Les foyers 214 G, H de l'Ovale C A, Fig. 214. font les mêmes que les foyers F, G de l'ovale CA, Figure 179. Ainfi il eft certain, fuivant ce qui a été expliqué, Sect. 3. Art. 1. n. 3. que tout rayon Gb, Fig. 214. qui eft dans l'air, & qui tombe fur la convexité AC du verre ACY, fe rompra au point b, pour aller au foyer H, & il y iroit, fi tout l'efpace ACH étoit de verre. Mais parceque le verre eft terminé la courbe CcY, le rayon Gb, ne fera que le chemin bc. De plus la convexité CY, Fig. 214. eft la même que la premiere partie AC, Figure 197. d'une Ovale du troifiéme genre; & leurs foyers font les points F, H. par Ainfi Ainfi felon ce qui a été dit, Sect. 3. Art. 3. n, 3. il est encore certain que le rayon be, Fig. 214. qni eft dans le verre ACY, & qui tend au point H, fe rompra au point c pour aller dans l'air au point F. C'eft pourquoi le verre ACY, Fig. 214. réüinira au point F les rayons qui viennent du point G. C c pre- FIG. 197. La convexité CA, Fig. 215. du verre ACY eft la même, que la miere partie AC, Fig. 197. d'une Ovale du troifiéme genre. Les foyers 25. G, H de l'Ovale CA, Fig. 215. font les mêmes que les foyers F, H de 179. l'Ovale CA, Fig. 197. Donc par l'Art. 3. n. 3. Sect. 3. le rayon Gb, Fig. 215. qui eft dans l'air, & qui tombe fur la convexité C A du verre CAY, fe rompra dans ce verre en be, comme s'il venoit du point H, & qu'il eût fuivi dans le même milieu la droite Hbc. Après cela la convexité CY, Fig. 215. eft la même que la premiere partie AC, Fig. 179. d'une Ovale du premier genre. Les foyers H, F de l'Ovale CY, Fig. 215. font les mê mes que les foyers G, F de l'Ovale AC, Fig. 179. Donc par l'Art. 1. n.3. Sect. le 3. rayon c, Fig. 215. qui va dans le verre ACY, comme s'il venoit du foyer H, & qui tombe dans l'air au point c, fe rompra pour aller au foyer F. D'où il fuit que le verre ACY, Figure 215. rassemblera au point F les rayons qui viennent du point G. b 2.16. Le verre ACY, Figure 216. eft convexe des deux côtez; la convexité Fig. AC eft une hyperbole, dont le fommet eft A, & G le foyer exterieur; la convexité CY est encore une hyperbole, dont le fommet eft Y, F le foyer exterieur, une proprieté commune à ces deux hyperboles eft, que la diftance de leurs deux foyers eft à leur axe déterminé comme dà c, ou comme le finus de l'angle d'inclinaifon eft au finus de l'angle rompu dans la refraction, que la lumiere fouffre en entrant de l'air dans le verre. Ainfi il eft évident par ce qui a été demontré, Sect. 4. n. 2. qu'un rayon quelconque Gb, qui eft dans l'air, & qui tombe fur la convexité CAb du verre CAY, fouffre refraction au point b, & qu'il ira be dans le verre, de telle forte que be foit parallèle à l'axe G A. Il eft encore évident, que ce rayon be, qui entre dans l'air au point c, fe rompra pour aller au foyer exterieur F. Il fuit donc que le verre hyperbolique ACY convexe des deux côtez réiinira au point F les rayons qui viennent du point G. bc par Les trois verres, Fig. 214. 215. 216. peuvent donc refoudre le second cas du Problême pour les rayons, qui viennent d'un point donné G de l'axe GA, & qui doivent se reiinir au point F du même axe. Il reste à examiner quand c'est que chacun de ces verres doit fervir. pre 214. 3. Fig. 214. Les points G, C, F font donnez avec la proportion de la Fic. ligne AM à la ligne MY; A doit être le fommet de cb A, qui eft la miere partie d'une Ovale du premier genre, dont les foyers font G donné, H inconnu ; Y doit être le fommet de CcY, qui eft la premiere partie d'une Ovale du troifiéme genre, dont les foyers font F donné, Ĥ inconnu. Ccc H FIG. Je regarde le foyer H, qui eft commun aux deux Ovales, comme donné; 214 c'est-à-dire, que je le fuppofe là où je veux. Je cherche la valeur de la droite A M par les trois points G, C, H. Je nomme HC,; la difference de CH & de HM, k; HM fera donc r - k. Je nomme encore AM, x; la toute H A fera r-k+x. Si je fouftrais. HC, r de HA,— k+x, il restera HA-HC, — k+x pour la difference de HA & de HC. - Je nomme GC, c; la difference de G C & de GM ; g; GM fera donc -3 g; & GAGM-MA, c-5 -x; fi l'on fouftrait GA, g-x de GC, il refte GC S — GA, g+x pour la difference de -- GC & de GA. Mais par la nature de l'Ovale du premier genre, Sect. 3. Art. 1. n. 1. d: e::g+x difference de G C & de GA: x-k difference de HA & de HC. Donc x= ge + d k AM, proprieté de la premiere partie des de Ovales du premier genre. On doit à prefent chercher la ligne droite YM par les trois points F, C, H. On nommera CF, b; la difference de C F & de FM, f; FM fera donc,h-f; il faut encore nommer MY, y; la ligne FYFM-FY fera hfy. Si l'on fouftrait FY, h-f-y de CF, b; il reste CFFY, f+y pour la difference de CF & de FY. On nommera comme auparavant CH, r; la difference de C H & de k; HY HM HM, k; HM fera rk; HY MY, r-k -y. Si l'on foufrefte HC HY, ky pour la dif trait HY, r — k Mais la nature de l'Ovale du troifiéme genre, Sect. 3. Art. 2. n. 1. par d: e::fy difference de C F & de FY: ky difference de C H & de HY. Doncy= ef-dk - MY. -e d- -e ef -e Ajoûtons AM, avec MY, fd; la fomme ef eft la ligne AY, qui eft toute connuë. Après cela je coupe AY en deux parties, qui ayent la proportion donnée de A Ma MY; afin de déterminer la longueur des lignes AM, MY, par confequent les fommets A, Y. & Lorfque vous connoiffez les trois points C, Y, F; vous cherchez par Problême du premier cas, Art. 1. le point H, qui eft encore inconnu, que vous ferez ainfi.. re, auffi bien par le ce la nature de Les points F, C, Y font connus; donc les lignes FY, FC le font encoleur difference, que j'appelle a. Mais que l'ovale du troifiéme genre d: e: a, la difference de FC, & de FY: dif ference de HY & de HC. Et fi vous nommez la plus grande HC, m; la 4. Nommez la connuë Y M, y; vous aurez plus petite HY fera m --HM=HY+YM, m De CH, m fouftrayez HM, m+, il refte -y difference de CH & de MH, que vous appellerez k, & C H fera H M + k = s + . Nommez auffi la connue CM, n. = 2 Dans le triangle rectangle C MH, CH' CM2 + H M2, ff + 2 ks ✦kk=nn+ff ; z ks = n n − k k ;s ——k, qui étant toute connuë donne le point cherché H. I -e d-e d-e ; or Il faut remarquer 1° que AM4 eft plus grande que, ou que la quantité dk eft pofitive, & que c'eft là une proprieté de la premiere partie des ovales du premier genre, 2o que la toute AY eft ef + eg cf + e8 : f+ 8::e : d -e. C'eft-à-dire AY, que efes eft à ƒ difference de C F & de FM, +g difference de G C & de GM, ou que AY eft aux deux quantitez dont GC & C F furpaffent FG: comme e la moindre des quantitez qui mefurent la refraction de la lumiere, qui paffe de l'air dans le verre, ou du verre dans l'air, eft à d -e difference des deux quantitez qui mefurent cette refraction. pre 2184 4. Fig. 215. Les points G, C, Ffont donnez avec la proportion de la FIG. ligne AMà la ligne AY. A doit être le fommet de C Ab, qui est la miere partie d'une Ovale du troifiéme genre, dont les foyers font G donné, Hinconnu, Y doit être le fommet de CY, qui eft la premiere partie d'u, ne Ovale du premier genre, dont les foyers font F donné, Hinconnu. Je regarde le foyer H, qui eft commun aux deux ovales, comme donné. Je cherche AM par les trois points G, c, H. Je nomme HC, r; la difference de HC & de HM, k; HM ferark ; & nommant AM, x; j'aurai HA HM-AM, r — k -x je fouftrais HA de HC, il reste k+x pour la difference de HA & de HC. On trouve comme n. 3. g+x pour la difference de GC & de G A. Maintenant par la nature de l'ovale du troifiéme genre, Sect. n. 1. d:c:: g+x difference de G C & de GA; k+x difference de HC & de H A: donc x= esdk=AM. Je cherche Y M par les points F, C, H. On trouve comme n.3.f+7 la difference de FC & de FY, étant MY, J. pour On vient de trouver HM, r—k; HY = H M + MY eft r — k + y. Souftrayons HC, r de HY, r — ky; il refte y — k pour la difference Sect. 3. la nature de l'ovale du premier genre, Art. 1. de HC & de HT. Maintenant par n. 1. d: e: : fy difference de FC & de FY: y-k difference de HC & de HY. Donc y = ef + dk Ajoûtons AM, eg—daY M, ef+dk; la toute A Yeft gef connuë fi l'on coupe AY felon la proportion donnée de AM à MỸ; l'on aura la longueur des lignes AM, MY; & les fommets A, Y. Après que vous connoiffez les points, C, Y, F; vous cherchez par le |