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PROBLÊ ME X I.

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Faire un angle d'un nombre de degre's proposé.

41. Solution. Il faut se rappeller la méthode dont on a parlé ci-devant ( 37 & 38) pour divisér un cercle. Si l'on se propose , par exemple, de faire un angle de ss de

55 grés sur la ligne donnée BC (Fig. 23.). De l'extrémité Fig. 23. B de la ligne comme centre, & d'un rayon BC pris à volonté, décrivez l'arc de cercle CD; & fans changer l'ouverture du compas, portez-la fur cet arc de C en D, vous aurez l'arc CD de la fixieme partie du cercle (38), ou de 60 degrés. Divisez cet arç par la moitié en E pour en avoir un de 30 degrés. L'espace ED étant partagé en trois parties égales, vous donnera le point de 40 degrés en F, celui de so en G: divisez en deux l'arc GD compris entre so& 60 degrés, le point A trouvé fera celui dess degrés : par ce point & par B pris ci-devant pour centre, tirez la ligne AB pour second côté ; l'angle ABC sera de 55 degrés, puisqu'il a pour mesure l'arc CA compris entre ses côtés.

Si l'angle demandé étoit plus grand que 60 degrés, il faudroit porter deux ou trois fois l'ouverture de compas ou le rayon sur l'arc CD pour en avoir un de 120 ou 18a degrés, & faire le reste comme ci-devant.

PROBLÊ ME X I I.

Un angle étant donné à volonté en mesurer

l'ouverture,

42. Solution. Pour connoître la valeur d'un angle tracé, on opérera comme au problême précédent. Supposons qu'on veuille mesurer l'angle ABC (Fig. 23.). Du sommet B Fig. 23. comme centre & d'une ouverture de compas à discrétion BC, on décrira l'arc CD. Portant certe mêrne ouverture de C en D on aura 60 degrés. Il ne s'agit donc plus que de chercher combien il y a de degrés dans l'arc compris entre les deux côtés de l'angle, selon la proportion de 60 degrés

qu'on vient de trouver. On marquera en E la moitié de ce nombre, & l'on divisera en trois la distance ED. Enfin

. prenant la moitié de l'espace GD, on aura le point de 55 degrés : ce qui fait voir que l'angle ABC et de ce nombre de degrés.

S'il est nécessaire de pousser les divisions plus loin, ce qui arrive le plus souvent, il faudra partager les arcs de Ś degrés en 5 parties égales , & prendre les frađions de çes dernieres parties.

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Autres méthodes de mesurer les angles.

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43. On trouve toujours dans les étuis de Mathématiques, un instrument nommé Rapporteur , dont on se sert pour mesurer les angles avec beaucoup plus de facilité. Ce rapporteur est un demi-cercle divisé en ses 180 degrés, & tracé sur du cui-' vre ou sur de la corne. On applique le centre du rapporteur à la pointe de l'angle , & il ne reste plus qu'à voir combien il y a de degrés compris entre les deux côtés de l'angle. Cet inftrument sert non-seulement à mesurer les angles, mais à en former qui aient précisément le nombre de degrés qu'on veut leur donner.

44. On peut aussi se servir de tout cercle déjà divisé, en de

grés, pour mesurer les angles. Si l'on veut, par exemple, meFig. 23. lurer l'angle ABC: entre les côtés de cet angle , prolongés s'il

est nécessaire , on décrira l'arc AC précisément du même rayon, ou avec la même ouverture de compas qu'a été décrit le cercle qui est divisé en degrés. Il suffira ensuite de prendre avec le compas la corde de l'arc AC qui mesure l'angle , & de la transporter sur le cercle divisé : la quantité de degrés qu'elle embrallera sera la grandeur de l'angle ABC,

45. Au lieu d'un cercle divifé en degrés on peut encore faire usage d'une ligne droite, sur laquelle se trouvent marquées toutes les longueurs des cordes prises dans un cercle d'un certain rayon. Les Pilotes ont communément entre les mains des regles de buis, fur lesquelles se trouve ordinairement, gravée une ligne ainsi divisée sous le nom d'Echelle des cordes. Onen trouvera la construction Livre I. Chap. V. de la premiere Section des Leçons de Navigation.

46. Pour mesurer un angle par le moyen de cette échelle , il n'y a qu'à décrire entre les deux côtés de l'angle proposé un arc AC, dont le rayon BC soit exactement égal à la corde de 60 degrés prise sur l'échelle ; parce que cette corde indique la longueur du rayon du cercle qui a servi à la construction de

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Liv. I. Sect. I. CHA P. III. 13 l'échelle. L'arc AC étant décrit, il ne reste plus qu'à prendre sa còrde AC avec le compas , & la porter sur l'échelle , faifant attention de placer l'une des jambes au point marqué zéro; l'autre jambe indiquera sur l'échelle.le nombre de degrés qui forme la mesure de l'angle cherché.

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CH A P I TRE I I I.

Des Triangles:

47.L.

ii E Triangle est une figure bornée par trois côtés :

renferme trois angles. On appelle Triangle Rectiligne , celui qui est formé par trois lignes droites ; & on nomme Triangle Sphérique, celui qui est formé sur une sphere par trois arcs de grands cercles.

On peut considérer le triangle par rapport à ses angles ou par rapport à ses côtés ; ce qui lui fait donner des noms différens.

1°. Pår rapport à fe's Angles.

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48. Si le triángle à un angle droit, il s'appelle Rec tangle, comme ABC (Fig. 24.) : on nomme le côté AC Fig. 24 opposé à l'angle droit B, l'Hypoténuse.

49. Si le triangle n'ayant pas d'angle droit , ses trois angles sont aigus, il s'appelle Obliquangle ou Oxygone , comme DEF (Fig. 25. ).

Fig. 253 50. Si le triangle enfin à un angle obtus ou plus grand qu'un droit, il se nomme Obtus-angle ou Ambligone, comme GHỈ (Fig. 16. ).

Fig. 26, II°. Par rapport à ses côtés.

ši. Si les trois côtés d'un triangle font égaux ; il se homme Equilatéral , comme LMN (Fig. 27.)

Fig. 27 52. Si deux côtés seulement sont égaux, ce triangle s'ap. pelle Isocele, comme OPQ (Fig. 28.).

Fig. 28.

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53. Et fi les trois côtés sont inégaux, il s'appelle Scao Fig. 29. lene, comme RST (Fig. 29.).

.

54. Une propriété très-remarquable , & qu'il importe aux Pilotes de savoir , c'est que dans tous les triangles formés par des lignes droites , soit que ces triangles soient ređangles ou obliquangles, les trois angles joints ensemble valent toujours

180 degrés : c'est-à-dire, que fi du même rayon ou de la même Fig. 30. ouverture du compas , on décrit dans le triangle de la Fig. 30,

trois arcs de cercle dans les trois angles A, B, C, pour leur servir de mesure, ces trois arcs joints ensemble feront toujours une demi-circonférence de cercle , & vaudront par conséquent 180 degrés. Ce seroit la même chose si l'on ouvroit ou si l'on fermoit les deux angles A & B : ils deviendroient plus grands ou plus petits; les deux lignes AC & BC, au lieu de s'aller rencontrer en C, se rencontreroient plus loin ou plus près ; mais l'angle C qui, comme nous l'avons dit (20), ne reçoit pas sa grandeur de celle de ses côtés, deviendroit plus aigu ou

fa plus obtus, plus petit ou plus grand : & de cette forte les trois angles vaudroient toujours 180 degrés ou la moitié du cercle.

55. Il fuit delà qu'aussitôt qu'on connoît deux angles d'un triangle, on connoît toujours le troisieme; puisqu'il est le reste à la moitié du cercle. Si l'un des angles eft, par exemple, 60 degrés & l'autre de 80, il faut nécessairement que le troifieme soit de 40, afin que les trois ensemble fassent 180 degrés. Lorsque le triangle est rectangle , l'angle droit vaut lui seul 90 degrés, ainsi il faut que les deux autres angles qui font aigus , faflent ensemble l'autre moitié ou les autres 90 degrés, & qu'ils soient par conséquent le complément l'un de l'autre. Supposé que l'un soit de 30 degrés, l'autre sera de 60. Si l'un est de 41° 15', l'autre sera de 48 degrés 45'.

56. On peut remarquer encore comme une propriété utile que le plus grand angle d'un triangle est toujours opposé au plus grand côté, & le plus petit angle au plus petit côté, de sorte que quand deux côtés sont égaux , les deux angles opposés sont aussi égaur.

57. Les figures formées de quatre côtés se nomment Quai

drilateres & on les nomme Parallelogrammes , lorsque Fig. 31. leurs côtés opposés sont paralleles entr'eux. La Fig. 31 nous

présente un de ces parallelogrammes ; le côté AB, est paralFig. 32. Iele à CD, & AC l'est à BD. La Fig. 32 est bien encore un

parallelogramme, mais on lui donne en particulier le nom de Redangle, parce que tous ses angles font droits

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58. Les lignes droites, comme AD, qui coupent ces figures par la moitié en se rendant d'un angle à son opposé, font des diametres; mais on les nomme plus ordinairement Diagonales , pour les distinguer des diametres du cercle.

CHAPITRE I V.

1

Définitions des Sinus, Tangentes & Sécantes.

E 59.

cet arc perpendiculairement sur le rayon qui passe par l'autre extrémité du même arc. Cette ligne est aussi le finus de l'angle mesuré par l'arc. Par exemple , le Sinus de l'arc AC (Fig. 33. ) eft la Fig. 331 ligne CE tirée de l'extrémité C de cet arc perpendiculairement sur le rayon AB , qui passe par l'autre extrémité A de ce même arc. Cette ligne CE est en même-temps sinus de l'angle ABC, dont l'arc AC est la mesure: de même la ligne CF eft finus de l'arc CG & de l'angle CBG.

60. On pourroit aussi définir le finus par rapport à l'angle immédiatemement,

en disant

que

le sirius d'un angle est une perpendiculaire abaissée de l'extrémité d'un de ses côtés, pris pour rayon , sur l'autre côté prolongé s'il est nécessaire.

61. Enfin on peut dire encore que le sinus d'un arc eft le moitié de la corde d'un arc double. Par exemple, CE sinus de l'arc AC est la moitié de CH, qui est la corde de l'arc CAH double de AC.

L'arc grandissant le sinus augmente jusqu'à un certain terme, après lequel il diminue. Si, par exemple, on fait l'arc égal au quart de cercle AG , il aura pour finus le rayon ou demi-diametre BG plus grand que CE sinus de AC : mais si après cela on augmente encore l'arc , le finus diminuera. Ainsi le finus de l'arc AL sera LM plus perit que BG; par où l'on voit que le rayon est le plus grand de tous les finus, & c'est pour cela qu'il prend le nom de sinus total.

62. La partie AE du rayon , comprise entre le sinus & l'extré mité A de l'arc AC, s'appelle le finus-verse de cet arc ou de l'angle ABC.

63. On appelle Tangente de l'arc AC ou de l'angle ABC la ligne AN élevée perpendiculairement sur l'extrémité du rayon AB, & terminé par le rayon BC prolongé juf

& qu'en N.

64. Ce même rayon prolongé BCN , & terminé par la tan

:

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