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Il faut donc pour fouftraire jufte ecrire 15-7 3, c'est-à-dire, 11.

En un mot, pour fouftraire une grandeur ou plufieurs grandeurs d'une autre grandeur, il faut changer tous les fignes des grandeurs à fouftraire, & les joindre ainfi à la grandeur dont on fouftrait.

C+

De la grandeur A, je veux fouftraire B — C → DE, j'écris A B C D+ E, & l'ope ration eft faite.

Multiplication.

Cette operation eft la plus difficile. On la comprendra cependant avec un peu d'attention.

Si je veux multiplier la grandeur A, par la gran deur B, je fçai déja qu'il faut écrire fimplement

A B.

Si je voulois multiplier 3 A par 4 B, je devrois par la même raifon écrire 12 AB.

Mais pour comprendre les operations fuivantes, il faut fe fouvenir des Axiomes pofés ci-devant. Un tout est égal à toutes fes parties prifes enfemble.

C'est la même chofe de multiplier un tout par lui-même, ou de le multiplier par chacune de fes parties, & de prendre la fomme de tous ces produits. Cela pofe,

Je veux multiplier la grandeur A+B par la grandeur C;je confidere que la grandeur A+ B a deux parties, fçavoir A & B. Donc je dois multiplier A par C, & B par C, pour avoir le produit de la grandeur A+B par C, c'eft-à-dire, que je dois écrire AC B C.

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Par la même raifon, fije veux multiplier la grandeur AB, par la grandeur C→ D, je dois d'a

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bord multiplier A + B par C, c'est-à-dire, que je dois mettre comme ci-deffus AC + BC. Mais il faut encore multiplier AB par D, c'est-à-dire, que je dois mettre AD 4 BD. Donc la multiplication totale eft AC + BC + AD + B D.

En nombres je veux multiplier 2 + 3 par 4+5, c'est-à-dire, 5 par 9, ce qui produit 45. Je multiplie 2 par 4, 2 par 5, 3 par 4, 3 par 5, viennent les produits 8, 10, 12, 15, dont la fomme eft 45. En un mot, il faut faire autant de multiplications partiales, qu'il y a de caracteres differens dans le multipliant, & dans la grandeur à multiplier.

Que fi j'avois à multiplier A + B par CD, j'écrirois ainfi le produit AC + BC — ADBD, me fouvenant toûjours que quand je multiplie le figne par le figne -, le produit eft moins. C'est la même raifon que dans la fouftraction. La chofe eft évidente dans les nombres. Car fi A eft 6, que B foit 5, C foit 4, & que D foit 3, il s'agit de mutiplier 65 par 43. Je multiplie → 6 par + 4 vient plus 24, je multiplie 5 par 4 vient 20, je multiplie +6 par-3 vient 18, je multiplie 5 par-3 vient-15. Ces quatre produits enfemble font 24 20 — 18 15, c'eft-à-dire, 11. Ce qui doit venir en effet au produit, puifque multiplier 65 par 43, c'eft multiplier 1 par 1.

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Mais il y a une autre obfervation importante à faire, qui eft que lorfque je multiplie le figne par le figne

,

le produit doit avoir le figne. Par exemple, je multiplie AB par CD; je dois écrire au produit AC BC—AD+BD. J'écris AC, parce que c'eft + A, multiplié par C. J'écris BC, parce que c'est-p

multiplié par C. J'écris

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AD, parce que c'eft+A multiplié par D. J'écris → BD, parce que c'eft-B multiplié par D. Pour en comprendre clairement la raison; que A vaille 8, B foit 2, C foit 6, D foit 1. J'ai à multiplier AB par C-D; c'est-à-dire, 8 → il doit venir 30

2 par + 6

au produit.

ou 6 I,

par 5

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Je multiplie 8 par + 6, vient + 48. Je

multiplie

2 par

plie8 par
par I, vient
enfemble font 48

6, vient

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14 Je multiI, vient-8. Je multiplie - - 2 2. Tous ces produits ajoûtés I 2 82, c'est-à-dire

comme il devoit arriver.

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30,

2 par

En voici la raison. Lorfque je fais la multipli cation partiale de 8 par 6, elle eft trop grande; & de combien ? de 8 fois I, parce 8 ne devoit être multiplié réellement que par 61, c'est-à-dire par 5, il faudra donc déja diminuer 8; ainfi j'aurai à mettre 8 dans la multiplication totale. Puis quand je viens à multiplier 6, il me vient 12: mais ce 12 ôte parce que je devois réellement multiplier 2 par 61, c'est-à-dire par 5, & le produit n'eût été que 10. Aiant donc ôté 2 de trop, je dois les remettre dans l'addition des multiplications partiales, & c'eft auffi ce que je fais en écrivant 2 pour le produit de par 2. Ce raisonnement eft clair, mais il demande de l'attention.

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L'opération eft fort courte; il n'y a qu'à féparer par une petite barre la grandeur qu'on divife, & la grandeur qui doit divifer; en forte que la gran

deur qu'on divife foit au-deffus, & l'autre deffous.

A,

Ainfi pour diviser Ʌ, par B, j'écris. Pour divi

fer BC par X, j'écris BC.

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ВС
X

B

Pour divifer B CD par

Il y a feulement une observation à faire, qui cft, que s'il fe trouve la même ou les mêmes lettres audeffus & au-deffous de la barre, il n'y a qu'à les effacer. L'expreffion demeure la même, mais. plus

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La raison de cela, eft que pour multiplier la gran

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fant ce produit par AB, je n'ai qu'à écrire AB au

deffous ainfi

CDA B

YAB

Or multiplier une grandeur

par une grandeur, puis divifer le produit par la même grandeur, c'eft ne la pas changer. Par exemple, multiplier 5 par 4, vient au produit 20. Divifer 20 par 4, revient le premier nombre 5.

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AC

c'eft-à-dire, 3B; puif

que 3 B, multipliés par AC, puis divifés par AC, c'eft toûjours 3 B.

En voila affés pour aller fort avant dans les plus importantes démonstrations.

ELEMENS

ELEMENS

DE

GEOMETRIE

PREMIER LIVRE. Des Perpendiculaires & des obliques.

PREMIERE PROPOSITION.

Du point A pris pour centre, foit

décrit un

cercle quel

conque, coupant la ligne don

'UN point donné comme A, faire tomber une perpendiculaire fur une ligne donnée comme BC.

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née en deux points, comme D E. Des deux points

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