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étant supposé également éloigné des points B, C, tout autre point de la perpendiculaire, comme A, sera aussi à égale distance des mêmes points B, C. Donc les deux obliques AB, AC, qui mesurent cette distance, seront égales.

Second Cas. Si la perpendiculaire est égale à la perpendiculaire, & l'oblique à l'oblique, les éloignemens de perpendicule seront égaux.

Car la perpendiculaire étant la même , & les deux obliques égales, il s'ensuit par la cinquiéme Proposition que l'éloignement de perpendicule DB, est égal à l'éloignement du perpendicule DC; puisque, par cette Proposition, les obliques font d'autant plus longues, qu'elles sont plus éloignées du perpendicule, étant évident que le plus grand éloignement de perpendicule donneroit une plus longue oblique, si ces éloignemens n'étoient pas égaux.

Troisiéme Cas. Si l'oblique est égale à l'oblique, & l'éloignement de perpendicule égal à l'éloignement de perpendicule, la perpendiculaire sera égale à la perpendiculaire.

C'est la même preuve que celle du Cas précédent. Il ne faut que considerer BD, DC, comme perpendiculaires, & AD, comme éloignement de perpen . dicule. Il est évident que BD, étant égale à DC, BA, égale à CA, il faut que AD, soit égale à DA, c'est-à-dire , à elle-même.

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SEPTIE'ME PROPOSITION.

Deux lignes obliques, inégales entr'elles & inclinées de different côté, comme la ligne AB, AC, étant menées du point A , sur la ligne DC: Et deux autres lignes inégales entr'elles, mais dont chacune est égale à chacune des deux premieres, comme les

lignes FG, FH, étant menées du point F, sur la même ligne GE; fi BC, distance des points de section des deux premieres est égale à GH,

distance des points de fecțion des deux dernieres, les deux points A, F, d'où elles partent , sont également distants de la ligne à laquelle elles sont menées,

à А.

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Car par le dernier Cas de la Proposition precedente, les obliques étant égales aux obliques, c'est-àdire AB, étant égale à FG;AC, étant égale à FH, & les points de fe&ion BC, GH, éloignemens de perpendicule , étant supposés égaux, il faut bien que les perpendiculaires AI, FK, soient égales,

, Cette derniere Proposition eft de grand usage, & il est important de la bien retenir,

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SECOND LIV R E.

Des Paralleles.

A.

Pre's avoir consideré dans le premier Livre,

une proprieté des lignes droites, qui est de se rencontrer perpendiculairement ou obliquement, nous considérerons dans celui-ci une proprieté oppolée , qui est de ne se rencontrer jamais.

PREMIERE PROPOSITION. Si une ligne comme AB, eft perpendiculaire sur une ligne comme CD, & oblique sur une autre ligne comme EF, toute autre ligne comme GH, qui sera perpendiculaire sur CD, sera necessairement oblique sur EF, & la plus courte de toutes sera celle qui sera la plus proche de l'inclinaison des lignes CD, EF, c'est-à-dire la plus proche du point où ces deux lignes prolongées se rencontreroient.

Car aïanç élevé du point A;

perpendiculaire fur EF, E per:

C pendiculai

B I H re rencontrera la ligne CD, ou précisément au point H, ou entre les points B, H, ou par-delà le point H.

Si elle la rencontre entre les points B, H, il faut continuer à mener , comme dans la figure, des per

L

une

cette

D

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pendiculaires & des

G obliques,

L jusqu'à ce

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qu'on soit

C

est perpen

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parvenu , E ou qu'on

D ait passé le

B I Н. point H. Et en tous ces cas, on démontrera que la signe GH, est perpendiculaire sur l'une & oblique sur l'autre. Par exemple, puisque AB, diculaire sur CD; Al, fera oblique sur CD, & par consequent AT, sera plus longue que AB, par la quatriéme Proposition du premier Livre. On démontrera en comparant toutes les lignes qui se suivent, que la ligne LH, est plus longue qu'aucune des precedentes, mais plus courte que la ligne GH, par la même Proposition, & que GH, sera oblique sur EF, puisque HL, y est perpendiculaire. Si la ligne Al, rencontre d'abord le point H, ce sera la même démonstration. Que fi la ligne ÀI, passe le point H, on démontrera la même chose, en élevant au point I, une perpendiculaire sur CD.

SECONDE

PROPOSITION.

Si une ligne

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A comme AB, eft perpendi

I culaire sur CD; & oblique sur EF; & qu’une autre ligne GH,

H B soit perpendiculaire sur E F, & oblique sur CD, f

comme

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ces lignes ne s'entrecoupent point, celle qui sera plus près de l'endroit vers lequel tendent les inclinées CD, EF, telle qu'est GH, sera plus courte que l'autre AB.

Car du point H, aïant mené sur E F, l'oblique HI, perpendiculaire sur CD, elle sera, par la precedente Proposition, plus courte que la ligne AB, & en même temps plus longue que la ligne GH, par la quatriéme Proposition du premier Livre, å plus forte raison la ligne GH, sera-t-elle plus courte que la ligne AB.

TROISIEME PROPOSITION. Si une même ligne comme AB, eft perpendiculaire aux deux lignes CD, EF; toute autre ligne comme GH, qui sera perpendiculaire sur CD, ou EF, sera perpendiculaire sur l'autre , & de plus sera égale à la perpendiculaire AB.

Car aïant mené par le point

M G, les lignes E

F IGN, LGM, L

N elles seront necessairement o

D B

H bliques sur la ligne AB, prolongée en I, puisque la ligne AG, lui est supposée perpendiculaire. Cela étant , il s'ensuit, 1°. par la premiere Proposition de ce Livre, que la ligne GH, est égale à la ligne perpendiculaire AB. Car si l'on ajoûte la moindre portion à la ligne AB, ou si on en retranche la moindre partie , les lignes AB, GH, deviendront inégales. Si, par exemple, l'on suppose que la ligne MGL, en ait retranché la portion AL, le reste LB, sera plus petit que GH, par la premiere Proposition; & si l'on suppose au contraire que la

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A

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