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plie & formée par autant de lignes égales à GH, que la furface GHKI; donc il y a de part & d'autre, fomme égale de lignes égales, parce que la perpendiculaire LH, détermine cette fomme telle qu'elle puiffe être, à une parfaite égalité; donc le parallelogramme eft égal au Rectangle : Cette méthode de démontrer, fe nomme la Geometrie des Indivifibles. La fécondité en eft admirable, & nous en donnerons encore quelques Exemples.

TREIZIEME PROPOSITION.

Tout parallelogramme peut être divifé en deux triangles tout égaux; d'où s'enfuit que tout triangle eft moitié d'un parallelogramme : la démonstration 'eft claire d'ellemême, puifqu'en tirant d'un Angle à l'autre, une ligne qu'on appelle Diagonale, les trois côtés de chacun des deux

triangles font neceffairement égaux.

COROLLAIRE.

L'Aire du triangle eft la moitié du parallelogramme, & par confequent du Rectangle qui a même bafe & même hauteur.

COROLLAIRE II.

Les triangles qui ont leur Sommet entre mêmes paralleles & la bafe commune, font neceffairement égaux; autrement, les triangles qui ont même bafe & même hauteur, font égaux.

Le triangle

CAB, eft moitié d'un Rectan

gle, qui a BC, pour base, & pour hauteur la perpendiculaire,

qui mefure la dif-..... tance des paral- B

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leles. Or le triangle CB D, eft moitié du même Rec tangle; donc l'Aire des deux Rectangles eft égales cela eft aifé à démontrer encore par les indivifibles.

QUATORZIE ME PROPOSITION.,

En tout triangle Rectangle, le quarré du grand côté qu'on appelle Hypotenufe, eft égal aux quarrés des deux côtés. Voila cette admirable Propofition, dont on attribuë l'invention à Pythagore, & qui eft d'un ufage infini.

Soit le trian

gle rectangle

BAC, je dis

que le quarré B CD E,

eft égal aux

deux autres. Du Som

met de l'An

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foit tirée la

ligne AH, parallele au

côté BE; &

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du même Sommet A, foient tirées aux extremités du côté DE, les lignes AD, AE; des extremités du

côté CB, foient tirées les lignes CF, BG, terminées par les côtés BF, CG.

La ligne AH, divife le quarré en deux Rectan gles. Il faut prouver que le petit Rectangle IB EH, eft égal au quarré AK FB, quarré A KFB, & que le Rectangle ICDH, eft égal au quarré CALG.

Pour le prouver, je confidere le triangle BCF, & le triangle EAB; le triangle B CF, eft moitié du quarré AKFB, puisqu'il a même base & même hauteur; car le triangle B C F, peut être confideré comme enfermé entre les paralleles FB, K C, aiant fon Sommet en C, B F, pour base, & AB, pour hauteur, puifquc c'est la perpendiculaire qui mefure la diftance des paralleles. Par la même raifon, le triangle EA B, eft la moitié du Rectangle IB EH, puifque B E, eft base du Rectangle & du triangle, & que BI, eft hauteur de l'un & de l'autre. Si donc ces deux triangles BCF, EAB font égaux, leur double le fera; or ces deux triangles font égaux en effet, car le côté CB, du triangle BCF, eft égal au côté BE, du triangle EA B, & le côté B F, du premier triangle, eft égal au côté AB du fecond, puifqu'ils font côtés de quarrés. Or l'Angle C B F, compris par les côtés CB, BF, eft égal à l'Angle EBA, compris par les côtés A B, BE; parce que chacun de ces Angles, eft composé d'un Angle droit & d'un Angle commun CB A; donc la bafe C F, eft égale à la bafe A E, par la neuviéme Propofition du quatriéme Livre; donc les deux triangles BCF, EAB, font tout égaux; donc leurs doubles font égaux, c'eft-à-dire, le quarre AKFB, égal au Rectangle IBE H: on prouvera de même que les triangle CAD, CBG, font tout égaux, & par confequent leurs doubles;

c'est-à-dire, le quarré CALG, égal au Rectangle ICDH; donc le quarré BCDE, composé de deux Rectangles, eft égal aux deux quarrés AK FB, CALG. Ce qu'il falloit démontrer.

Il eft aifé de faire voir que cette admirable Propofition, n'eft qu'un Corollaire des lignes proportionelles qui fourniffent la Propofition fuivante plus générale.

QUINZIE ME PROPOSITION.

Si une ligne comme AB, eft divifée en deux parties

au point

E

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EF, GH, foient Moïennes Proportionelles; l'une comme E F, entre la toute AB, & fa petite portion A C; l'autre, comme GH, entre la toute AB, & fa grande portion CB; le quarré de la toute AB, fera égal aux quarrés des Moiennes Proportionelles EF, GH.

Il faut fe fouvenir qu'il a été démontré, que fi une ligne eft Moïenne Proportionelle entre deux autres, le quarré de la Moienne eft égal au Rectangle ou produit des Extrêmes; c'est la proprieté de la Proportion Geometrique, qui convient à toutes fortes de grandeurs, foit nombres, foit lignes, &c. J'appelle la Ligne,

Le Segment,

Le Segment,

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AB... X.
AC....y.
CB...

..

La Moienne Proportionelle, EF....R

L'autre

GH....

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Puifque R, eft Moïenne Proportionelle entre &y, il s'enfuit que RRxy, par la proprieté de la Proportion.

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Puifque P, eft Moïenne Proportionelle entre &z, il s'enfuit que PPxz, par la proprieté de la Proportion.

Donc RR+PP=xy+X 2.

Or xy+xz. C'eft x multiplié par y + z; c'està-dire, la ligne totale multipliée par fes Segmens ou par elle-même, ou, fi vous voulés, c'eft xx. Donc RR+PP➡xx.

C'eft-à-dire, le quarré de la ligne AB, eft égal aux quarrés des deux Moïennes Proportionelles E, GH.

COROLLAIRE.

Le quarré de l'Hypotenufe eft égal au quarré des deux cô

tés; car par la neuviéme Propofition du fi

xiéme Livre,

le côté AB,

eft Moien Pro- B

portionel en

C

tre BD, & BC, & le côté AD, Moïen Proportionel entre BD, & CD.

Il fuit de là, que tout triangle qui eft tel que le quarré de fa bafe, eft égal au quarré de fes deux côtés, eft un triangle Rectangle; car fi les côtés s'ouvroient pour faire un obtus, la bafe feroit plus grande, & s'ils s'approchoient, plus petite; & par confequent fon quarré feroit ou plus grand ou plus petit, que fi l'Angle étoit droit.

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