L'efpace renfermé entre le quart de cercle AGB, & la demi-circonference AFB, fe nomme une Lunulle, comme celle de l'autre côté.

Je dis que les deux Lunulles prifes ensemble, font égales au triangle ABC, car par ce dernier Corollaire, l'Aire du demi-cercle AGB DC, eft égale aux deux Aires des demi-cercles AFB, BEC. Ör retranchant de l'Aire du grand demi-cercle, la portion AG BH, & la portion BDCI, reftera le triangle ABC; ces deux mêmes portions AGBH, BDCI, retranchées des deux demi-cercles AFB . BEC, laifferont les deux Lunulles AFB G BEC D; donc les reftes feront égaux de part & d'autre; donc les Lunulles font égales à l'Aire du triangle A B C, dont la moitié A B K, eft égale à l'une des Lunulles.

Il eft affés furprenant que l'on mefure fi aifément une furface bornée par deux portions de circonferences, & que jufqu'à prefent l'efprit humain n'ait pû trouver aucun chemin pour aller à la quadrature du cercle; mais nous allons voir tout-à-l'heure quelque chofe de bien plus humiliant pour lui.

QUATRIEME PROPOSITION.

Des Incommensurables.

La Diagonale du quarré eft Incommenfurable à fon côté.

Soit un quarré ABCD. La Diagonale AD.

Il n'y a qu'à démontrer que la ligne AD, n'eft pas comme nombre à nombre à l'égard de la ligne AC.

Souvenons-nous d'abord que la Raifon doublée de toute Rai

B

fon de nombre à nombre, a neceffairement pour Expofans des nombres quarrés.

2°. Qu'une Raifon doublée, qui n'a pas pour Expofans des nombres quarrés, n'eft pas doublée d'une Raifon de nombre à nombre, ou pour s'exprimer autrement, que la Raifon dont elle eft la doublée, n'eft pas Raifon de nombre à nombre. Cela a été démontré.

Or par le cinquiéme Corollaire de la troifiéme Propofition de ce Livre, le quarré de la ligne AD, eft au quarré de la ligne AC, en Raifon doublée de la Raifon de la ligne AD, à la ligne AC.

Donc fi le quarré de la ligne A D, & le quarré de la ligne AC, n'ont pas pour Expofans des nombres quarrés, la Raifon de la ligne AD, à la ligne A C, fera fourde. Or les Expofans de la Raifon de ces deux quarrés, font 2, 1, par la quatorziéme Propofition du Livre précedent, puifque le triangle

triangle ACD, eft Rectangle, & que le côté AC étant égal au côté CD, le quarré de l'Hypotenuses AD, eft double du quarré du côté AC; donc la Raifon dont cette Raifon 2, 1, eft la doublée, n'eft pas une Raifon de nombre à nombre ; c'est-àdire, que la Raison de la Diagonale AD, au côté AC, eft fourde ou n'eft pas de nombre. Voila donc deux lignes AD, AC, qui n'ont aucune commune mesure.

Il n'en eft pas de même de leurs quarrés, car leurs quarrés font commenfurables, ou font comme nombre à nombre, puisque l'un eft à l'égard de l'autre,

comme 2 à 1.

Les Geometres pour exprimer cela, difent que la Diagonale & le côté font incommenfurables en longueur, mais commenfurables en puiffance, c'eftà-dire, que leurs quarrés ne font pas incommenfurables.

Mais il eft facile de trouver des lignes qui feront incommenfurables en longueur & même en puiffance, c'est-à-dire, dont les quarrés n'auront aucun rapport qu'on puiffe exprimer par des nom

bres.

Par exemple, il n'y a qu'à trouver une ligne moienne Proportionelle entre la Diagonale & le côté. Par la dixiéme Propofition du fixiéme Livre :

Je dis que cette moïenne Proportionelle eft incommenfurable en longueur & en puiffance à l'égard du côté & de la Diagonale.

Soit la ligne EF, 1. A

fuppofée moïenne E

Proportionelle en- Å.

tre le côté AC & la Diagonale AD.

.C.

F.

D

Il eft premierement certain que la Raifon de la ligne AC, à la ligne AD; eft doublée de la

Par la fuppofition, x,y::y, %.

C.

F.

D

Si l'on multiplie les deux Antecedens l'un par l'autre, & pareillement les deux Confequens, on aura pour Raifon compofée xy, zy. Or cette Raifon n'eft pas differente de la Raifon de x à z.

x, z:: xy, xy.

Puifque c'est une Raifon multipliée par la même grandeur y; donc la Raifon de x à z, eft compofée de la Raifon de và y, & de la Raifon de ga To9 qui font deux Raifons égales; donc la Raifon de x à z, eft doublée de la Raifon de x à c'efty; à-dire, comme on l'a avancé, que la Raifon de la ligne AC, à la ligne AD, eft doublée de la Raifon de la ligne AC, à la ligne EF.

Cela étant, la ligne AC, eft incommenfurable à la ligne EF, puifque leur Raifon doublée qui eft celle de la ligne AC, à ligne AD, bien loin d'a→ voir pour Expofans des nombres quarrés, n'a pas même aucun nombre pour Expofans.

Je dis de plus que le quarré de la ligne AC, eft incommenfurable au quarré de la ligne EF.

Car le quarré de la ligne AC, eft au quarré de la ligne EF, en Raifon doublée de la ligne AC, à la ligne E F; c'eft-à-dire, comme la ligne AC, eft à la ligne AD. Or la ligne AC, eft fuppofée incommenfurable à la ligne AD; donc le quarré de la ligne AC, eft incommenfurable au quarré de la ligne EF.

On voit par là qu'on peut avoir des lignes in

commenfurables à l'infini, en cherchant toûjours des moiennes proportionelles ; par exemple, entre la ligne AC, & la ligne EF, & ainfi à l'infini,

Réflexions fur les Incommenfurables.

Rien n'eft plus étonnant que ces vérités démontrées touchant les Incommenfurables. La ligne AC; & la ligne AD, ont chacune une infinité d'Aliquottes pareilles, & dans ce nombre infini, je ne puis jamais en trouver une feule qui puiffe être l'A liquotte des deux lignes.

Je puis prendre, par exemple, la centmilliémè partie de la ligne AC; la deux centmilliéme, la quatre centmilliéme partie, & ainfi doublant toûjours à l'infini, fans que jamais aucune de ces petites parties puiffe être contenue précisément un certain nombre de fois dans la ligne AD.

Je puis même choifir une infinité d'Aliquottes de la ligne AC, d'un ordre tout different. Je puiš prendre la trois centmilliéme partie, la neuf centmilliéme; & ainfi triplant toûjours à l'infini, fans que jamais dans cette infinité d'Infinis, je puiffe trouver une partie qui mefure exactement la ligne

AD.

Cette vérité démontrée, démontre invinciblement la divifibilité de la matiere à l'infini, ou pour s'exprimer autrement, que l'étenduë ne peut être compofée d'indivifibles; car fi le côté du quarré, par exemple, étoit compofé d'indivisibles, il en contiendroit neceffairement un certain nombre; ainfi l'un de ces indivifibles feroit Aliquotte de ce côté. Prenant maintenant l'un de ces indivifibles ou Aliquotte, pour mefurer la Diagonale, il y fera contenu précisément un certain nombre de fois, on avec un refte. Si vous dites qu'il y eft contenu