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ligne IGN, y me I ait ajoûté la li

A gne IA, par la E même Propofi- L

N tion, I AB, fera plus longue B

H que GH: puisque IB, GH, font toutes deux perpendiculaires sur CD, & obliques sur in. Donc la ligne AB, est égale à la ligne GH, puisqu'on n'y peut rien ajoûter, ni en rien retrancher, fans la rendre inégale à la ligne GH.

Pour prouver maintenant que la perpendiculaire GH, est en effet perpendiculaire sur les deux lignes CD, EF, il n'y a qu'à se souvenir de la precedente Proposition, où l'on a démontré que fi une seule ligne est perpendiculaire sur CD, & oblique fur EF, toute autre ligne qui sera perpendiculaire sur CD, sera oblique sur E F. Donc si GH, étant perpendiculaire sur CD, étoit oblique sur E F, il s'ensuivroit que B, qui est perpendiculaire sur CD, seroit oblique sur EF, ce qui est contre la fupposition.

QUATRIE'MB PROPOSITION. Par un point donné comme A, faire passer une parallele à une ligne donnée comme BC, c'est-à-dire, tirer par le point A, une ligne, dont tous les points soient toûjours à égale distance de la ligne BC, en sorte que ces deux lignes prolongées de part & d'autre à l'infini, ne puissent jamais se rencontrer. Du point donné G

A

E
A, foit mené fur D-
BC, la perpendi-
culaire A F. Au

-B point A, foit mea

Н.

F née sur AF, la perpendiculaire EA, prolongée

l'on veut en D; je dis que la ligne DGAE, est pas rallele à la ligne donnée BC.

Car par la construction, la ligne A F, étant pera pendiculaire aux deux lignes DE, BC, il s'ensuit par la precedente Proposition, que toute autre perpendiculaire , sur une de ces lignes, comme GH, sera perpendiculaire

sur les deux , & égale à la perpendiculaire AF: Donc les points G, A, seront chacun également éloignés de la ligne donnée BC; car la distance d'un point à une ligne, est mesurée par la perpendiculaire qui est la plus courte de toutes. Donc tout autre point que la ligne DE, sera également éloigné de la ligne BC: Donc toute la ligne DE, sera toûjours à égale distance de la ligne BC, en quoi consiste le parallelisme.

Il s'ensuit de cette constru&ion, qu'étant donnée la ligne BC, & le point A, si l'on mene la perpendiculaire AF, & une autre perpendiculaire comme GH, égale à la premiere, la ligne qui joindra les points A, G, fera la parallele demandée.

AUTRE CONSTRUCTION.
Par le point donné A, soit menée à discretion
une oblique comme AG, sur la ligne BC.
Du point FI

A.
A, pris pour
D

E centre,

soit décrite portion de BG

LH cercle dont le rajon soit AG, & du point G, pris pour centre, foit décrit l'arc AH, dont le raion soit G A. Soit pris l'arc GF, égal à l'arc AH. Par le point F, & le point donné Ą , soit menée la ligne DFIAE; Je dis qu'elle est parallele à ligne BC.

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une

Car la ligne FI

A oblique AG, D.

E est égale à GA, c'est-àdire à elle- B même : la li

LH gne FA, est égale à la ligne GH, puisque ce sont deux raions de deux cercles égaux. D'ailleurs les arcs FG, AH, étant égaux par construction, les cordes qui les soutiennent seront égales, c'est-àdire les lignes droites FG, AH. On peut donc confiderer les deux lignes droites GF,GA, comme deux obliques inégales entre elles, & inclinées de different côté, menées du point G, sur la ligne D E. On peut aussi considerer les deux lignes droites AH, AG, comme deux autres obliques inégales entre elles & inclinées de different côté, menées du point Ă, sur la ligne BC. Mais ces deux dernieres obliques inégales entre elles, sont chacune égale à chacune des deux premieres , c'est-à-dire, la ligne droite GF, égale à la droite AH; GA, égale à AG; & de plus FA, distance des points de fection des deux premieres obliques, est égale à GH, distance des points de fe&tion des deux dernieres. Donc

par la septiéme Proposition du premier Livre, les deux points A, G, d'où partent les obliques, son chacun également distans de la ligne sur laquelle elles font menées. Donc les deux perpendiculaires AL GI, sont égales, donc la ligne qui les renferme est parallele à la donnée.

CINQUIE'ME PROPOSITION. Les également inclinées entre-paralleles font égales, les portions des paralleles qu'elles coupent sont égales, & ces également inclinées sont paralleles elles

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linées en-L tre les pa

A,

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mêmes.

1 Soient les

B

А. lignes BC, ĂD, également in

G

V

E D ralleles IA, L M. Soient menées des points B, les perpendiculaires BE, AF. Des points D, B, soient menées les perpendiculaires DH, BG:& soient joints les points B, D, par la ligne B D.

3 Puisqu'on suppose les obliques BC, AD, également inclinées, il faut que leurs éloignemens de perpendicule CE, DF, soient égaux. Or leurs perpendiculaires BE, AF, sont égales, puisqu'elles sont entre-paralleles, donc par le premier Cas de la fixiéme Proposition du premier Livre, les obliques BC, AD, sont égales.

2o. Les portions des paralleles BA, CD, font égales. Car B. A, est égale à FE, puisque les lignes BA, FE , sont toutes deux perpendiculaires entre les lignes BE, AF. Or CD, est égale à FE, parce que CE,'étant égale à DF; la grandeur ED, qui leur est commune , étant jointe à l'une & à l'autre , doit faire deux grandeurs égales. Donc CD, est égale à BA, qui est égale à FE.

39. Les lignes BC,AD, également inclinées, sont paralleles elles-mêmes ; car les trois lignes BD, DA, AB, sont égales aux trois lignes BD, BC, CD, chacune à chacune. Donc par la feptiéme Proposition du premier Livre , les perpendiculaires DH, BG, sont égales. Donc elles sont entre-paralleles.

TROISI E'ME LIVRE.

Des Lignes droites termixées à une

circonference. Alen

Pre's avoir parlé dans les deux Livres préce

dens des lignes droites qui se rencontrent & de celles qui ne peuvent jamais se rencontrer, nous allons parler dans celui-ci des lignes droites terminées à la circonference d'un cercle. Ces lignes peuvent ou

A partir de dehors le cercle & le couper; en ce cas on les appelle Sécantes exterieures, telles sont les li

gnes AB, AC

Ou partir d'un point en

B dedans de la circonference, D comme les lignes FD, FE; en ce cas on les nomme Sécantes interieures.

Ou partir d'un point hors E du cercle, & toucher la circonference fans la couper, quoique prolongées, comme les lignes GH, IK, en ce cas on les nomme Tangentes.

Ou partir d'un point de la circonference même, & aboutir à un autre point, comme les lignes EC, LC. Celles-ci s'appellent Cordes.

Ainsi nous traiterons dans ce Livre ; des Cordes; des Sécantes interieures & exterieures; & des Tangentes.

DEŞ

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