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Donc le produit des Extrêmes, eft égal au produit

des Moïens.

Donc le Rectangle de DF, par CE, eft égal au Rectangle de FC, par BE.

Or le Rectangle de la ligne CF, par la ligne DB, joint au Rectangle de la ligne CF, par la ligne BE, eft la même chofe que le Rectangle de la ligne CF, par la ligne D E.

Donc le Rectangle de ces deux Diagonales CF, DE, eft égal aux deux Rectangles formés par les côtés oppofés du quadrilatere infcrit au cercle.

Soit à prefent donnée, par exemple, une corde de 60 degrés, qui étant égale au raïon, A fera de 100000 parties, & qu'il faille trouver la corde AC, qui foutient l'arc A B C, que je fuppofe double de l'arc AEB, qui eft un arc de 60 degrés.

Je mene le diametre DB, qui fera de 200000;

E

В

D

je cherche la valeur de la corde AD, c'est-à-dire, à caufe du triangle rectangle B AD, du quarré du diametre, j'ôte le quarré de la corde AB, me refte le quarré de la corde AD, & je trouve par ce calcul que la corde AD, fera de 174922.

La corde B C, égale à la corde AB, fera de 100000 parties.

La corde CD, égale à la corde AD, aura 174922 parties.

Si donc je multiplie 174922 par 100000, c'est-à-dire DC, par AB, & que j'en prenne le

B

E

double, j'aurai la valeur
du Rectangle du dia-
metre BD, par la corde
cherchée A C.
Ce produit
34984400000.

fera

Si donc je divife cette fomme par 200000, qui eft le diamatte B D, il me viendra 174922 pour la valeur de la corde AC, que je cherchois.

A

D

Par cette même Propofition, étant données deux cordes differentes, il eft aifé de trouver la corde qui foutient un arc égal aux deux arcs des deux cordes données. C'eft la même chofe.

COROLLA IR E.

Etant donnée une corde de trois degrés ou de cinq degrés; trouver la corde d'un degré, ou pour exprimer la chofe plus generalement. Etant donnée une corde quelconque ; trouver la corde qui foutient le tiers ou la cinquième partie de l'arc que foutient la corde donnée.

Suppofons, par exemple, qu'étant donnée la corde de 60 degrés, qui eft 100000; on veüille avoir la corde de 20 degrés.

Il eft vifible que cette corde de 20 degrés doit être plus grande que le tiers de 100000.

Je prens donc le tiers de 100000, & j'y ajoûte quelques parties, & je fuppofe que la fomme qui me vient, eft la corde de 20 degrés.

Cela fait fi ma fuppofition eft véritable en cher

:

chant par la Propofition précédente, la corde de 40

degrés, puis la corde de 60, je dois trouver 100000 pour la corde de 60 degrés.

Si donc je trouve quelque chofe de plus ou de moins, ma fuppofition a été trop forte ou trop foible ; j'en fais alors une nouvelle, que je diminue ou augmente, jufques à ce qu'opérant, comme il vient d'être dit, je trouve 100000 précisément pour ma corde de 60 degrés ; & pour lors je fuis affuré que ma derniere fuppofition eft la corde de 20 degrés.

Je trouverai par la même méthode, la corde qui foutient un arc, qui fera la cinquième partie d'un arc donné.

PROBLEME QUATRIEME.

Conftruire la Table des Sinus.

L'on a la corde de 60 degrés, qui eft 100000. L'on aura la corde de 30 degrés par le fecond Problême, & par le même Problême, la corde de 15 degrés.

Aïant la corde de 15 degrés, l'on aura par la Propofition précedente, la corde de 3 degrés. Aïant la corde de 3 degrés, l'on aura la corde d'un degré, par la même Propofition.

Aïant la corde d'un degré, on aura par le fecond Problême la corde de 30 minutes.

Aïant la corde de 30 minutes, on aura par le même Problême la corde de 15 minutes.

Aïant la corde de 15 minutes, on aura par la précedente Propofition la corde de 3 minutes.

Par la même Propofition, aïant la corde de 3 minutes, on aura la corde d'une minute.

Aïant la corde d'une minute, on a la corde de 2 minutes, par le troifiéme Problême.

La moitié de cette derniere corde fera le Sinus de l'arc d'une minute.

Il eft aifé de voir qu'aïant une fois la corde d'une minute, & la corde de deux minutes, on a aifément la corde de 4 minutes, puis celle de 5 par la précedente Propofition; & qu'ainfi le calcul de tous les Sinus ne demande plus que de la patience, pour appliquer le peu de Propofitions que nous venons d'expliquer.

Il y a plufieurs autres Propofitions qui abregent les opérations, mais il n'eft pas neceffaire de les donner; nous ne voulons pas conftruire une Table. Il fuffit d'avoir enfeigné la méthode pour en conf truire une; on en trouve par-tout d'imprimées qui font fort exactes, & nous y renvoions ceux qui voudront opérer par les triangles.

Mais il faut dire un mot des Tangentes & Sécantes, dont l'ufage eft frequent dans les opérations d'Aftronomie, parce qu'on y emploie prefque toujours des triangles appellés Spheriques, c'est-à-dire, formés par des arcs de grands cercles de la Sphere. En cette Figure,je fuppofe l'Angle CAD, de D. 30 degrés ; & fon Sinus EB, par confequent de 50000 parties.

La Tangente CD, parallele au Sinus, & terminée par le raion AE, prolongée, eft ce qu'on appelle abfolument la Tangente de l'arc CE, comme la ligne AD, en eft la Sécante.

E

C

B

Il eft aifé de déterminer cette Tangente CD, & cette Sécante AD, en parties, dès que l'on a le Sinus EB car le Sinus EB connu, fait connoître la

Ligne AB; puifque le triangle ABE, eft rectangle, & qu'il n'y a qu'à ôter du quarré du raïon AE, le quarré du Sinus EB, pour avoir le quarré de la ligne AB, dont la racine quarrée fera la ligne AB.

Or à caufe des triangles femblables ABE, ACD, comme la ligne AB, eft à la ligne BE; ainfi le raïon AC, eft à la Tangente CD.

Cette Tangente étant une fois connuë, il est bien aifé de connoître la Sécante AD.

Car comme le Sinus BE, eft au raïon EA; ainfi la Tangente CD, eft à la Sécante DA, à caufe des triangles femblables.

On pourroit avoir encore autrement la Sécante. Le triangle ACD, étant rectangle, fi au quarré du raïon AC, l'on joint le quarré de la Tangente CD; T'on aura le quarré de l'Hypotenufe AD, dont la racine quarrée fera la Sécante de l'arc CE.

Il ne faut donc que cette feule Propofition pour déterminer en partie toutes les Tangentes & toutes les Sécantes de tous les arcs dont on a le Sinus. Mais nous ne nous y arrêterons pas davantage ; il y a eu des gens charitables qui nous ont épargné ce travail; leurs Tables font imprimées avec celles des Sinus, & chacun peut y recourir dans le befoin.

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