TRAITE DES LOGARITHMES. venons Es Tables des Sinus, Tangentes & Sécantes, dont nous venons d'expliquer la construction pourroient abfolument fuffire, pour la refolution des Problêmes de Trigonometrie; mais l'admirable découverte des Logarithmes, dont on eft redevable au fameux Neper, a mis un fi grand abregé dans le Calcul, & en facilite à tel point les opérations, qu'il ne femble pas permis de laifler ignorer aux Commençans, la nature & l'utilité d'une invention fi merveilleufe. L'Ecoffe peut fe vanter d'avoir produit en la perfonne de cet illuftre Mathematicien, un homme dont le nom vivra tant qu'il y aura des Geometres fur la Terre. Les Aftronomes fur tout fentiront à jamais ce qu'ils lui doivent, pour leur avoir enfeigné une méthode auffi fûre que facile, de refoudre en un quart-d'heure des Problêmes qu'on pouvoit à peine entreprendre en un jour, fans compter que les longs Calculs où l'on tomboit neceffairement, étoient prefque toûjours inféparables de quelque erreur. Il n'y a point de petit Arithmeticien qui ne fçache combien les Additions & les Souftractions font faciles, en comparaifon des Multiplications & des Divifions. Ainfi pour faire voir d'un coup d'oeil, le fervice que Neper a rendu aux Geometres, il n'y a qu'à dire en un mot que fa méthode convertit les Multiplications en Additions, & les Divisions en Souftractions. DEFINITION DES LOGARITHMES. On appelle Logarithme, une fuite de nombres en proportion arithmetique, correfpondans à d'autres nombres qui font en proportion geometrique; par exemple, foit une colonne de nombre en progreffion geometrique, & à côté des colonnes de nombres en progreffion arithmetique, telles que l'on voudra les choifir, comme l'on voit ici : Si l'on fe détermine à la premiere progreffion arithmetique; I de cette progreffion arithmetique, fera dit logarithme de 1 de la progreffion geometrique; 2 de la progreffion arithmetique, fera logarithme de 2 de la progreffion geometrique; 3, fera logarithme de 454, fera logarithme de 8, & ainfi de fuite; chaque chiffre de la progreffion arithmetique, fera le logarithme du chiffre de la progreffion geometrique vis-à-vis duquel il eft placé. Que fi l'on s'étoit déterminé à la feconde progreffion arithmetique; r de la progreffion arithmetique feroit logarithme de 1 de la progreffion geometri que; 3 de la progreffion arithmetique feroit logarithme de 2 de la progreffion geometrique ; 5 de la progreffion arithmetique feroit logarithme de 4 de la progreffion geometrique ; & toûjours ainfi de fuite. Et fi l'on avoit choifi la troifieme progreffion arirhmetique, qui commence, comme l'on voit, par zero; o de cette progreffion, feroit logarithme de 1 de la progreffion geometrique; I de la progreffion arithmetique feroit logarithme de 2 de la progreffion geometrique; 2 de la progreffion arithmetique feroit logarithme de 4 de la progreffion geometrique; 3 de la progreffion arithmetique feroit logarithme de 8 de la progreffipn geometrique ; & toûjours de même, on verra bien-tôt que cette progreffion, qui commence par zero, abrege encore plus les opérations que ne font les autres. Il ne fera fera pas inutilite de remarquer que l'on pourroit dans la conftruction des Tables emploïer une progreffion arithmetique, qui croît toûjours en di minuant; par exemple, Progreffion Progreffion geometrique. atrithmetique. 3 tifs, c'est-à-dire, qui ont avant eux le figne de moins, qui fe marque ainfi ; & l'on va voir qu'ils produifent le même les nombres pofitifs dans l'ufage des loga rithmes. En un mot il eft libre de fe déterminer telle progreffion geometrique que l'on veut ; & de lui faire correfpondre auffi une progreffion arithmetique à discretion : mais aiant choifi en commençant une certaine progreffion geometrique, & lui aïant fait correfpondre une certaine progreffion arithmetique, il n'eft pas permis en continuant les Tables de quitter les progreffions que l'on a d'abord emploïées, En jettant les yeux fur ces colonnes de nombre, les perfonnes tant foit peu appliquées, & qui ont vû dans le Traité des Proportions quelles en font les proprietés, devinent aifément l'utilité de la méthode. Car fi l'on doit multiplier 16 par 64; on fçait que l'unité où I eft à 16, comme 64 au produît cherché ; il faut donc par la regle ordinaire, qu'on nomme Regle de Trois, multipler 16 par 64, qui font les moïens d'une progreffion geometrique, puifque 1,16 :: 64, au produit 1024. puis il faut divifer ce produit 1024, par I, qui eft le premier nombre de la proportion geometrique, refte au quotien 1024, qui eft l'autre extrême. Par les Logarithmes, en me fervant de la premiere progreffion arithmetique, je place fous les trois premiers nombres I, 16::64, leurs logarithmes I, 5:7 à ces trois nombres 1, 5, 7, fi je veux avoir un quatriéme proportionel arithmetique, on fçait qu'il faut ajoûter 5 à 7, & de leur fomme qui eft 12, ôter 1, il refte 11 pour le quatriéme proportionel arithmetique. Ainfi voila fa proportion arithmetique, I eft à 5 comme 7 eft à 11, à laquelle correfpond I, 16, :: 64, 1024 proportion geomet. donc cherchant le logarithme 11, qui eft l'extrême de la proportion arithmetique, je vois qu'il corref pond dans la progreffion geometrique au nombre 1024, extrême de la progreffion geometrique. Ce feroit la même chofe fi je m'étois fervi de la feconde progreffion arithmetique; car en cette progreffion le logarithme de 16, eft 9; celui de 64, eft 13; j'ajoûte 9, à 13; il vient 22; j'en ôte le logarithme de l'extrême, qui eft 1, refte 21 ; & je trouve vis-à-vis, dans la colonne geometrique, le même nombre cherché, 1024. Si je m'étois fervi de la troifiéme progreffion arithmetique, qui commence par zero: dans cette progreffion, le logarithme de 16, eft 4, celui de 64, eft ; je les joints enfemble, vient 10, j'ôte o, c'eft-à-dire rien, reftë 10, & je trouve vis-à-vis, dans la colonne geometrique, le même nombre 1024. La raison en eft évidente, 1, 16:: 64, 1024, c'eft-à-dire, que les deux nombres donnés à multiplier l'un par l'autre, font les moïens d'une proportion geometrique, dont le produit qu'on demande, & l'unité font les extrêmes. Or dans toute proportion geometrique, le produit des extrêmes eft égal au produit des moïens, donc le produit des moïens divifé par l'un des extrêmes donne l'autre. D'ailleurs à cette proportion geometrique qui fe trouve dans la premiere colonne, correfpond dans la fe 1,16::64, 1024 conde, la proportion arithmet. 1, 5:7, dont les trois premiers 1, 5, 7, font defignez ; il n'eft donc queftion que d'avoir le quatrième. Or dans toute proportion arithmetique, la fomme des moïens, comme font ici 5, 7, eft égale à la fommet |