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des extrêmes; par confequent fi de la fomme, qui eft 12, j'ôte un des extrêmes, qui eft 1, reftera l'autre extrême, qui eft 11, lequel dans la proportion geometrique, me montre 1024, auquel il correfpond.

D'où fuit clairement, que pour multiplier deux nombres quelconques l'un par l'autre : il n'y a qu'à ajoûter leurs logarithmes enfemble, puis de cette fomme fouftraire le logarithme de l'unité, le restę fera le logarithme du produit des deux nombres donnés.

C'eft pour cela qu'il eft encore plus court de choifir une progreffion arithmetique, qui commence par zero: car en cet exemple,

logarithme

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je n'ai que faire de fouftraire le premier logarithme, puifqu'il eft nul, & que la fomme des logarithmes moïens eft le logarithme extrême, qui me defigne 1024; & voila la raifon qui fait que dans la conftruction des Tables on emploie toujours la progreffion arithmetique, qui commence par zero, & qui épargne la fouftraction de ce premier logarithme.

On voit bien encore que la progreffion arithmetique ci-deffus, qui va toûjours en diminuant, pourroit fervir aux mêmes ufages. Confiderés la Table ci-dessus, où 7 eft logarithme de l'unité. Je veux multiplier 27 par 729. J'ajoûte enfemble leurs logarithmes, qui font dans cette Table, 4 & 1, la fomme eft 5, j'ôte de 5 le logarithme de l'unité, qui eft 7, refte-2, vis-à-vis duquel nombre négatif je trouve dans la progreffion 19683, qui eft le produit de 27 par 729.

Il fuit encore de ce que nous venons d'expliquer, que pour divifer deux nombaes l'un par l'autre; par

exemple, 8 par 4; du logarithme de 8, qui eft 3; il n'y a qu'à fouftraire le logarithme de 4, qui eft 23 refte 1, logarithme du nombre 2, qui eft le quotient de la division.

Tout cela fuppofe, que o foit logarithme de l'unité de même voulant divifer 32 par 8; du logarithme de 32, qui eft 5, ôtés le logarithme de 8, qui eft 3, reftera 2, qui eft le logarithme du nombre 4, quotient de la divifion ; & ainfi des

autres.

La démonftration en eft évidente: car le divifeur eft au dividende, comme l'unité eft au quotient de la divifion; c'est-à-dire,

mettés les

8,32 :: 1, 4. prop. geomet.

logarithmes 3, 5 comme o, 2. prop. arithm.

deffous.

Dans cette proportion arithmetique, la fomme des extrêmes, qui eft 5 est égale à la fomme des moïens, qui eft auffi 5, parce que le logarithme de l'unité eft o. Ainfi du logarithme de 32, qui éft 5, ôtant le logarithme d'un extrême, qui eft 3, refte néceffairement 2, logarithme du nombre 4, quotient de la divifion.

La conftruction de ces Tables feroit bien - tôt faite, fi l'on n'avoit à opérer que fur les nombres qui fe trouvent dans les progreffions que l'on a choifies; mais comme en telle progreffion que l'on puiffe choifir, il manque toûjours beaucoup de nombres intermediaires, l'ufage des logarithmes ne feroit pas de grande utilité, fi l'on ne trouvoit le moïen de le rendre univerfel. Soit, par exemple, les deux progreffions.

Geometrique!

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aura par confe

7

32 64 128

8

quent dans la pro. 256, &c. greffion arithmetique aucuns logarithmes correfpondans : il faut donc une méthode pour remedier à cet inconvenient.

Pour cela, fouvenons-nous d'abord qu'en faifant ces Tables, il eft libre de choisir telles progeffions que l'on veut par confequent fi j'avois choifi la progreffion geometrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, &c. & que j'y euffe fait correspondre la pro greffion arithmetique 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, &c. Il ne tiendroit qu'à moi d'augmenter les chiffres de la progreffion geometrique, chacun d'un même nombre de zero, fans que la progreffion fût bleffée; car y ajoûtant un zero, elle deviendroit 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, &c. & les logarithmes o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, &c. deviendroient en ce cas logarithmes de cette nouvelle progreffion geometrique.

De plus, fi j'augmentois auffi d'un même nombre de zero, chaque chiffre de la progreffion arithmetique, comme ici d'un zero, elle deviendroit 00, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, &c. & ces nombres feroient toujours logarithmes de la progreffion geometrique à laquelle ils correfpondroient. Cela fuppofé,

2

La commodité du Calcul a fait choifir la progref fion geometrique décimale, c'eft-à-dire celle où

P

chaque nombre eft décuple de celui qui le précede immédiatement.

Progr. geomet. Progr. arithmet. qui contient les

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logarithmes de cette progreffion geometri

100

que; o eft donc ici lo

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quatre nombres geometriquement pro

portionels, doivent correfpondre quatre nombres arithmetiquement proportionels.

Que pour avoir un moïen geometrique entre deux nombres, il faut extraire la racine quarrée de leur produit; & que pour avoir un moien arithmetique entre deux nombres donnés, il faut les ajoûter enfemble, & prendre la moitié de leur fomme; ce fera le moïen arithmetique cherché.

Dans ces deux dernieres progreffions où j'ai o pour logarithme de 1, & 1 pour fogarithme de ro; je veux trouver quel doit être le logarithme du nombre 9.

Le nombre 9 étant placé entre 1 & 10, il faut que le logarithme de ce nombre 9, foit entre les logarithmes de 1 & de 10, qui font o, 1.

Or, fans autre preuve, ce logarithme placé entre 0, 1, fera moindre que i neceffairement, & par confequent fera une fraction moindre que l'unité. D'où s'enfuit que les logarithmés des nombres 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, feroient auffi des fractions tou- . jours moindres que la fraction qui exprimeroit le fogarithme du nombre 9, que je veux trouver : ce

qui cauferoit un étrange embarras dans le calcul, & feroit perdre toute la facilité que doivent y apporter les logarithmes.

C'eft pour cela même qu'étant libre de choifir pour logarithmes telle progreffion arithmetique que l'on veut; je puis augmenter la progreffion arithmetique ci-deffus d'un même nombre de zero, & la fuppofer comme ici.

I

3

4

O

O O

Ο Ο Ο

Alors le logarithme de l'unité étant comme on le voit o. 0000000, c'eft-à-dire, rien ou zero, & celui de 10, étant 10000000, qui furpaffe le premier par dix millions d'unités, je pourrai dans ce prodigieux intervale, trouver quelque nombre, qui fans être fraction, correfponde au mombre 9, rebattons le principe fonda- 9 0000000 mental.

5

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7

8

Etant donnés, dans la progreffion geometrique, les nombres 100, 10000; & dans l'arithmetique les nombres 20000,000 & 40000000 qui leur correfpondent & font les logarithmes : fi l'on tire la racine quarrée du produit des deux premieres 100 & ioooo, & que l'on prenne la moitié de la fomme des deux derniers 2 oo ooooo & 40000000, on aura d'une part 1000 & de l'autre 30000000, qui fera le logarithme du nombre 1 000, moïen proportionel entre les deux premiers nombres donnés 100 & 10000. Voila de quoi il fe faut bien fouvenir; car c'eft le fondement de tout le calcul logarithmique.

Ne nous laffons point de repeter, car nous n'écrivons pas pour ceux qui fçavent; mais pour ceux qui ne fçavent pas.

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