Si entre deux nombres donnés, comme 1 & 256, on trouve tant de moïens geometriques proportionels que l'on voudra; & que entre o & 8 déterminés pour être logarithmes des deux nombres donnés, on trouve autant de moïens proportionels arithmetiques: le premier moïen arithmetique trouvé fera le logarithme du premier moïen geometrique trouvé : le fecond moïen arithmetique qu'on trouvera entre le premier moien arithmetique trouvé & 8, fera logarithme du fecond moïen geometrique qu'on trouvera entre le premier trouvé & 256; & ainsi toûjours de même: car confiderés ces colonnes où nous emploïons exprès de petits nombres. Progreffion geometrique. I 824∞ 16 32 4 5 64 6 128 256 Entre 1 & 256 je cherche le moïen geometrique proportionel; pour cela je multiplie 1 par 256, vient au produit 256; j'en tire la racine quarrée, vient 16 pour le premier moien geometrique, qui fe trouve entre les deux nombres donnés I, 256. Entre o & 8 déterminés pour logarithmes de 1, 256. Je cherche un moïen proportionel arithmetique, leur fomme o 8, eft 8; dans la moitié 4. eft logarithme de 16, comme il fe voit dans les colonnes. Entre 16, premier moïen geometrique trouvé & 256, je cherche un moïen gemetrique, je multiplie l'un par l'autre ; je tire la racine du produit, il me vient 64 pour fecond moïen geometrique. Entre 4, premier moïen arithmetique trouvé & 8, je cherche le moïen arithmetique, leur fomme 4,8, eft 12; j'en prens la moitié, qui eft 6, pour logarithme de 64. Continuant, entre 64 & 256, je cherche le moien geometrique, vient 128. Entre 6 & 8, je cherche le moïen arithmetique, j'ajoûte 6, 8, vient 14, dont la moitié 7, est le logarithme de 128. Mais pour éclaircir encore plus la matiere, confiderés les colonnes entre 2 & 4, cherchés un moïen geometrique proportionel, leur produit eft 8, dont la racine eft V8: car c'est ainsi qu'on marque les racines fourdes; ce nombre fourd V8, eft moïen geometrique proportionel, suivant la regle. Le logarithme de 2 eft 1, celuy de 4 est 2, leur fomme eft 3, dont la moitié eft logarithme de V8; & vous l'allés voir. 7 Entre 8 & 16, je prens le moïen geometrique, & c'eft ✓ 128. 3 & 4, logarithmes de 8 & 16, je cherche le moïen arithmetique, & c'eft ?, qui eft logarithme de 128. Pour le prouver, je veux multiplier V8 par V128; par la pratique des logarithmes, je joins leurs lo 3 7 ΙΟ garithmes & 2, la somme est ou 5, que 2 2 vous voïés dans la colonne être le logarithme 32. Or V8, multiplié par V 128, produit ✔ 1024, qui eft en effet 32; & ainfi de tous les autres. Il fuit vifiblement de ce que nous venons de remarquer, que fi entre deux nombres donnés, com me 1 & 10, je cherche, fuivant cette méthode des moïens proportionels geometriques ; & qu'entre les logarithmes de ces deux nombres, lefquels logarithmes font o, 1; je cherche des moiens proportionels arithmetiques : le premier moïen geometrique trouvé, aura pour logarithme le premier moien arithmetique trouvé : le fecond moïen geometrique trouvé, aura pour logarithme le fecond moïen arithmetique le quinziéme moïen geometrique, aura pour logarithme le quinziéme moien arithmetique: le vingt-fixiéme moien geometrique, aura pour logarithme le vingt-fixiéme moien arithmetique, &c. & tous ces logarithmes feront déterminés entr'eux par rapports aux deux premiers établis o, 1. Cela étant je cherche quel doit être le logarithme du nombre 9. Je prens le moien proportionel geometrique entre 1 & 10, qui ont ici pour logarithmes o. 00000000 & 100000000. J'ajoûte enfemble ces deux logarithmes, leur fomme eft 100000000, la moitié de cette fomme 5ooooooo fera logarithme du moïen proportionel geometrique entre 1 & 10, quel qu'il foit. Mais comme pour avoir le moïen geometrique 1 proportionel entre 1 & 10, il eft neceffaire de tirer la racine quarrée de 10, qui n'a point de racine exacte, il faut au moins en approcher fi près, que ce qui pourra manquer à la précifion devienne comme imperceptible, & ne puiffe caufer aucune erreur dans le calcul. On fçait la méthode ordinaire pour approcher à l'infini de la véritable racine: car en réduifant le nombre donné 10 en fraction, comme 1000 100 qui vaut 10, & qui a pour fon dénominateur un nombre quar ré; & tirant la racine quarrée du numérateur & du 31 dénominateur, il vient ou 3 ΙΟ I - ΙΟ Mais fi l'on réduit le nombre 10 en une fraction compofée d'un plus grand nombre de chiffres, com 3 ΙΟ : ainfi qui vaut toûjours 10, la racine fera 316 100 qui eft plus grande que la premiere racinę augmentant toûjours de deux zero le nu mérateur & le dénominateur de la fraction, elle vaudra toûjours 10; & fa racine approchera toûjours de plus en plus de la véritable. Tout cela fuppofé, pour trouver le moïen proportionel entre 1 & 10, je convertis ces deux nombres en ces deux grandes fractions. 10000000 10.0000000 Je multiplie l'une IO 00000000000000 100000000000000 Je tire la racine quarrée de cette derniere fraction > vient 31622777, dont le quarré differe de 10, à peine de 10000000 la cinq cent milliéme partie d'une unité. Cette racine donc 31622777 10000000 aura pour logarith me 5ooooooo: mais cette racine n'eft pas le nombre dont je cherche le logarithme. Le nombre dont je cherche le logarithme, eft entiers, 9. 90000000 ou en 10000000 Ainfi je prendrai le moïen proportionel geometri31622777 10.0000000 que entre 10000000 & I 0000000 il me viendra , , dont j'aurai le logarithme, en ajoûtant garithme de 1o, qui eft 10. 00000000, & prenant la moitié de cette fomme, laquelle moitié fera 7 5000000. J'ai donc le nombre 56234132 10000000 avec fon logarithme. Mais ce nombre plus grand que le premier moïen geometriqué proportionel, eft encore beaucoup plus Je cherche encore par la même méthode un moien geometr. proportionel, qui fe trouve être |