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çes quartre derniers nombres 2, 3, 4, 6 ont pour

, logarithmes 3010300, 4771212, 6020600, 7781512 qui sont véritablement en proportion arithmetique, mais non pas en proportion continuë; non plus que les quatre nombres 2, 3, 4, 6 qui font en proportion geometrique, mais non pas en proportion continuë. Car quoique 2 soit à 3, comme 4 est à 6 geometriquement, 2 n'est pas à 3 geometriquement, comme 3 eft à 4. J'ai vû des person: nes assés avancées dans la connoissance des Elemens, que cette difficulté, toute médiocre qu'elle est, avoit embarasle.

Il n'est pas inutile de faire observer à ceux qui commencent à se servir des Tables, que les différences des logarithmes des premiers nombres font bien plus grandes que celles des logarithmes des der njers , ainsi qu'il est facile de le remarquer.

Le logarithme du nombre 3 est 4771212; le lo garithme du nombre 4 est 6020600 : leur différence est donc 1249388. Or le logarithme du nombre 9996, eft 39998262, & le logarithme du nombre 9997, qui ne furpasse son précedent que de l'unité, est 39998697 : la différence de ces deux derniers logarithmes est 435, qui est deux mille huit çens soixante & douze fois moindre que la différence des logarithmes de 3 & de 4. La pratique de la construction des Tables rend toute seule raison de ces grandes inégalités : car. Progres. Progress

Entre 1 & 10, geometr. arithmet. ver huit nombres intermé

diaires, dont il faut que les logarithmes se trouvent en

tre o. & 1. Entre 1o & 100, il en faut trouver 88, dont il faut que les logarithi mes se trouvent entre 1 & 2: ainsi la progression

il faut trou

1 IO

100

2

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arithmetique n'augmentant jamais que de l'unité ; cette unité correspond, dans la progression geometrique à d'autant plus de nombres que la progreffion geometrique va en augmentant. Cette observation rendra raison d'une pratique que nous allons expliquer.

Je veux sçavoir à quel nombre appartient le logarithme 38652390 ; je cherche dans la Table le logarithme le plus prochainement moindre, & je trouve que c'est 386522225, qui est logarithme du nombre 7332. Mais le logarithme donné étant plus grand, il faut aussi que le nombre, dont il est logarithme, foit plus grand que 7332: or cet excès ne peut être qu'une fraction ; car le logarithme

i de 7333

est dans la Table 38652817 plus grand que le logarithme proposé.

Pour sçavoir quelle doit être cette fraction, je prens la différence du logarithınc donné 38652390, & du logarithme le plus prochainement moindre; cette différence est 105, que je mets à part.

Je prens ensuite la différence du logarithme du nombre 7332 & du logarithme du nombre 7333 , laquelle est 592. Ensuite, faisant une regle de trois, je dis :

Si la différence des deux logarithmes 592 donne l'unité ou I, combien donnera 165, différence du logarithme proposé 3. 8652390, & du logarithme le plus prochainement moindre , & je trouve

592 ainsi le nombre, dont 38652390 est le logarithme,

165 sera 7332 +

592 Mais si l'on me proposoit le logarithme 1607654, & qu'il fallût trouver le nombre dont il est le loga

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165.

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rithme , cette méthode ne me donneroit pas exactement la fraction qu'il faut trouver : car prenant la différence de ce logarithme donné, & du plus prochainement moindre, je trouve qu'elle est 55913, & c'est la différence du logarithme du nombre 49 & du logarithme donné.

Je prens ensuite la différence du logarithme de 40 & du logarithme 41, qui se trouve être 107239.

Si je faisois maintenant une regle de trois, &

que je dise :

Si 107239 donnent 1, combien 55913. Comme les différences de ces premiers logarithmes sont très-grandes, & diminuent fort inégalement; cette regle ne donneroit pas ce qu'il faut ; çar quoique 55913 foit presque la moitié de 107239, cette unité qu'il faut diviser, & dont il faut prendre une partie , ne doit pas étre à beaucoup près divisée dans la proportion de ces deux nombres, à cause de la grande inégalité du décroissement des logarithmes.

Pour remedier à cet inconvenient, au logarithme donné 16076543 , j'ajoûte le logarithme de 1oo, qui est 20000000, vient 3 6076543, par la méthode ci-dessus je cherche le nombre auquel 36076543 appartient, & je trouve que ce logarithme convient au nombre 40 18

cette frac

5 5 tion 4 est exacte , ou très-peu s'en faut; parce que

5 les différences de ces grands logarithmes n'ont pas les inégalités des premiers.

Mais comme ce logarithme 3. 6076543 a été formé par l'addition du logarithme donné 16076543, & du logarithme de 100, qui est 20000000

40184

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qui sera

la somme des deux logarithmes est logarithme d'un nombre cent fois plus grand que celui dont 16076543 eft logarithme, suivant ce que nous avons dit tant de fois; donc il faut prendre la centiéme pastiç du pombre trouvé

94
4.
4018

40
5

5०० On voit par là combien cette fra&tion est éloignée d'avoir avec l'unité la même proportion que 55913 avec 1072393

C'est pourquoi lorsque le logarithme donné eft moindre que 1

le logarithme de 1 000, il faut l'augmenter comme nous venons de le pratiquer.

Que si l'on me proposoit un logarithme plus grand que le logarithme de 10000, lequel efte 4. 0000000; par exemple, si l'on me proposoit 4. 5524118, qui ne se peut trouver dans la Table, de ce logarithme donné, j'ôte le logarithme du nombre 10, qui est 10000000, me reste 35524118,

9 que je trouve appartenir au nombre 35674

lequel nombre , par les principes ci-dessus posés, doit êttre la dixiéme partie du nombre dont le logarithme a été propofé; parce que de ce logarihme on a retranché le logarithme de 10 ; ainfi multipliant 35672, par 10, on aura 35679 pour le nombre dont 45524118 est le logarithme.

Par les mêmes principes, fi l'on me propose le logarithme négatif ci-dessus

1249988, & quc l'on me demande de quelle fraction il est logarithme; à ce nombre négatif j'ajoûte un logarithme à difcretion ; par exemple, le logarithme du nombre 360, qui est 25563025, la somme est 24313037; ce logarithme eft correspondant au nombre 270,

Rüj

Іо

9

2

IO

2

ou

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36

lequel doit être 360 fois plus grand que le nombre dont on a proposé le logarithme, puisqu'on a ajoûté le logarithme de 360 au logarithme propose; donc divisant 2 70 par 360, on doit avoir la fraction

270 27 cherchée; c'est-à-dire ,

ou 4, dont 360

3 1249988 est le logarithme, comme on l'a trouvé ci-dessus.

Il ne nous reste plus qu'à donner quelques exemples de l'utilité de ces Tables,

Soit donné le triangle re&iligne' ACB, l'angle C de 88 degrés, le côté BA de 9895 toises, le côté ca, de 9799 toises, on demande l'angle B, par la pratique ordinaire des Sinus, comme 9895 est au Sinus de 884 99939 :: ainsi 9799 est au Sinus B

с de l'angle B; il faudra donc multiplier 99939 par 9799, & diviser le produit par 9895; ce qui est affés long & sujet à erreur de calcul.

Par les logarithmes, le logarithme de 99939 Sinus, est

999973 le logarithme du nombre 9799, est

399118 j'en fais l'addition, vient

1399091 sôte de cette fom. le log. de 9895,qui est 399541 reste

9.99550 que je trouve da ns la Table être logar. de 810 46 qui est l'angle cherché.

9893

9499

be 88

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