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A

Soit la Sécante BD, prolongée jufqu'au centre A, & du centre A, soit mené le raïon AC, au point C, où aboutit la Sécante BC; je dis que BD, eft plus courte que BC; car la toute AD, qui eft un raïon, eft égale au raïon AC. Or

ABC, contient AC, donc

B

D

ABC, eft plus grand que AD. Donc fi l'on retranche AB, qui leur eft commun, le refte BD, fera plus court que le refte BC.

DES TANGENTES.

ONZIE'ME

PROPOSITION.

Toute ligne perpendiculaire fur l'extremité d'un raion, touche le cercle, & ne le touche qu'en un feul point.

Sur le point B, extremité du raion AB, foit menée la ligne DBE, perpendiculaire. Il est déja bien certain qu'elle touche le cercle, puifque le point eft commun à

B,

fon raïon AB, & D C à la ligne D BE.

В

la

Pour prouver qu'elle ne le peut toucher en aucun autre point comme C. Soit menée du centre A, ligne A C; il eft certain qu'elle fera oblique fur la Tangente, puifque du point A, l'on ne peut mener

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perpendiculaire

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AB, qui eft un raïon; donc fon extremité C, eft hors du cercle, & par confequent le point C, n'eft pas commun au cercle & à la Tangente.

DOUZIE ME PROPOSITION.

Il eft impoffible de faire paffer une feule ligne droite entre la Tangente & le cercle, quoiqu'on y en puiffe faire paffer une infinité de circulaires, qui ne fe ren contreront toutes qu'au feul point de contingence. 1o. Aïant mené la Tangente DBE. Si vous dites qu'on puiffe faire paffer entre elle & le cercle, la ligne BF, fans qu'elle coupe le cercle; voici comme je démontre l'im- E poffibilité du cas.

F

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B

D

La ligne Tangente ED, eft perpendiculaire fur l'extremité du raïon AB, donc la ligne FB eft oblique fur le raïon AB; & réciproquement le raïon AB, eft oblique fur la ligne FB. On peut donc du centre A, mener fur FB, une perpendiculaire

comme AC. Cette perpendiculaire AC, fera plus. courte que le raïon AB, par la 4 Propofition du I Livre; donc le point C, extremité de la perpendiculaire AC, fera au-dedans du cercle, & n'ira pas jufqu'à la circonference; donc la ligne BCF, entre neceffairement au-dedans du cercle.

2o. Aïant le petit

cercle dont le raïon eft AC, & la Tangente ECF. Si le raion AC, eft prolongé à l'infini, & que dans ce raion prolongé, l'on choififfe une infinité de points, comme B, pour fervir de centre à de nouvel

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les circonferences, dont le raïon foit BC. Je dis que toutes ces circonferences n'ont aucun point commun, que le feul point C, point de contingence. Car, par exemple, fi l'on dit que le point G, eft commun aux deux circonferences de la figure; du point A, centre du petit cercle, foit mené au point G, la ligne AG.

La ligne AC, eft raïon du petit cercle; elle eft Sécante interieure à l'égard du grand cercle, & pafferoit par fon centre B, fi elle étoit continuée. La ligne AG, eft encore une Sécante interieure à l'égard du grand cercle. Or par la 10 Propofition de ce Livre, la ligne AC, eft neceffairement plus courte qu'aucune Sécante interieure menée du point A; donc la ligne AC, eft plus courte que la ligne AG; donc la ligne AG, eft plus longue que le raïon du petit cercle. Donc fon extremité G, eft hors de la circonference du petit cercle; donc le point G, & le point D, ne font pas le même point. On démontrera la même chose de tout autre point choisi à discretion

dans toutes les circonferences poffibles, qui auront leur centre dans la ligne CB, prolongé à l'infini, & la ligne ECF, pour Tangente.

COROLLAIRE.

Il eft impoffible d'un autre point que le centre, de mener trois lignes égales, jufqu'à la circonference.

Car on a démontré que la Sécante interieure qui paffe par le centre, eft plus longue qu'aucune autre menée du même point, & que la Sécante interieure, qui continuée, pafferoit par le centre, eft plus courte qu'aucune autre. D'où fuit manifeftement que toutes les intermediaires font inégales, & par confequent qu'on peut avoir tout au plus deux Sécantes interieures égales entre elles, dont l'une fera d'un côté, &· l'autre fera de l'autre côté, à l'égard de celle qui. paffe par le centre.

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Le point d'où l'on peut mener jufques à la circonference trois lignes égales, eft neceffairement le centre du cercle.

TREIZIE ME PROPOSITION.

D'un point donné comme A, hors du cercle B CD, tirer deux Tangentes à ce cercle, & démontrer qu'elles font égales.

Du point E, centre du cercle, foit tirée jufqu'au point donné A, la ligne

EA.

F

Du centre E, intervale EA, foit décrit le cercle IAH. Au point C, où I le raion EA, coupe le

B

A

G

D

E

H

petit cercle, foit menée la perpendiculaire FCG, terminée par la circonference aux points FG, cette perpendiculaire fera Tangente à l'égard du petit cercle, & corde à l'égard du grand. Soit prife avec le Compas la longueur FG, qui foit portée du point donné A, jufques aux points de la grande circonference IH. Soient menées les lignes AI, AH; je dis qu'elles font Tangentes à l'égard du petit cercle.

Par la conftruction FG, elt Tangente; FG, AI, AH, font cordes égales auffi par la conftruction. Donc elles font également éloignées du centre E. Or la distance du centre E, jufques à la corde FG, eft mefurée par le raïon EC, qui lui eft perpendiculaire; donc la diftance des deux autres cordes AI, AH, également éloignées de ce centre, fera mefurée par les raïons EB, ED. Donc ces deux raïons leur font perpendiculaires, autrement ils n'en mesureroient pas la diftance à l'égard du centre. Donc les deux cordes AI, AH, font elles-mêmes perpendiculaires chacune à leur raïon. Donc par la onziéme Propofition de ce Livre, elles touchent le cercle aux points DB.

Il s'enfuit de la même Démonftration, que les deux Tangentes prifes du point donné, jufqu'aux points de contingence, font égales, puifqu'elles font moitié de cordes égales, par la premiere Propofition de ce Livre.

AVERTISSEMENT.

Avant de paffer à autre chofe, il ne fera pas inutile de faire quelques réflexions sur la douzième Propofition de ce Livre. Elle eft très-propre à humilier l'efprit humain, en le convainquant qu'il y a des vérités très-clairés, quand on les confidere chacune en particulier, dont il eft cependant impoffible de

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