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D, E, pris pour

cen

tres, soient

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D

eux ,

G

décrits deux cercles égaux entre mais

E B dontle raion soit plus grand ou plus petit que le raïon du premier cercle, & qui s'entrecoupent en un point, comme F. Par le point donné A, & par le point d'intersection F, soit menée la ligne doite AFG, je dis qu'elle est perpendiculaire à la ligne donnée BC.

Car par la construction, les deux lignes AD, AE, sont égales , puisqu'elles sont ražons du même cercle; les deux lignes FD, FE, font égales , puifqu'elles sont raions de deux cercles égaux : Done l'on a deux points, comme A, F, qui font chacun également éloignez des deux points D, E. Donc tous les points de la ligne A FG sont chacun également éloignés des deux points D, E, puisque deux points déterminent la position d'une ligne. Donc cette ligne AFG, n'incline ni d'un côté ni d'autre.

l'on appelle être perpendiculaire.
SECONDE

PROPOSITION. D'un point comme A, donné dans la ligne BAC, élever une perpendiculaire.

Soient pris deux points comme B, C, également éloignés du point A, des points B, C, pris pour centre soient décrits deux cercles égaux,

Ce que

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qui se coupent en un point, comme D, par lequel & par le point donné , soit menée la ligne AD$ je dis qu'elle est perpendiculaire.

Car par la constru&ion, le point A, est égale. ment éloigné des points B, C. Or le point D, point d'intersection des deux cercles, est aussi également éloigné des mêmes points B, C, puisque les lignes BD, CD, sont supposées raïons de deux cercles égaux. On a donc deux points, sçavoir A,& D, chacun également éloigné des points B, C. Donc par ja définition la ligne à D, est perpendiculaire.

TROISIE'ME PROPOSITION. Diviser une ligne donnée, comme AB, en deux parties égales.

Des deux points A, B, extremités de la ligne donnée, pris pour centres, soient décrits deux cercles égaux qui

А.

E se coupent en deux

B points, comme C, D. Þar les deux points d'intersection foit me née la ligne CD, je dis qu'elle coupe la ligne donnée au point E, en deux parties égales.

Car les deux cercles étant égaux, les quatre lignes CA, CB, DA, DB, qui en font raïons, doivent être égales , & par consequent les points C, D, également éloignés des points A, B: Donc tout autre point de la ligne CD, doit être également éloigné des points

A, B : Donc le point E, lui-même est également éloigné des points A, B, extremités de la ligne , & par consequent la divise en deux parties égales.

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D

On ne sçauroit s'imprimer trop fortement dans l'efprit, que ces trois Propositions sont principalement fondées sur la notion de la ligne droite, dont la position est totalement déterminée par deux points.

QUATR I E'M E PROPOSITION. D'un point donné comme A, hors d'une ligne comme BC, on ne peut faire tomber qu'une seule perpendiculaire sur la ligne donnée, & cette perpendiculaire est plus courte que toute autre ligne menée du point A, & terminée par la ligne donnée BC. Soit la perpendiculaire

A AD, & soit menée du point A, à quelque point comme E, de la ligne donnée, la ligne A E, je dis que la ligne AD, peut B seule être perpendiculaire, & qu'elle est necessairement plus courte que la ligne À E, qui est oblique.

Soit prolongée la per-, pendiculaire AD, jusqu'en F, en sorte que DF; soit égale à DA, & soient joints les points E, F, par

la ligne FE. Je dis, 10. que la ligne A E, ne peut être perpendiculaire sur la ligne BC.

Soient supposés les deux points BC, ou deux aucres à discretion également éloignés du point A; le point D, par consequent fera à égale distance des mêmes points BC, puisque la ligne AD, est supposée perpendiculaire, il faudroit donc, pour que la ligne A E, fût aussi perpendiculaire, que son point VĂ, étant également éloigné des points B, C, son point E, fût aussi à égale distance des points B, C; ce qui est manifestement impossible, puisqu'il est entre B & D, & que le point D, a été supposé luimême également éloigné des points B, C.

Je dis, 2°. que la ligne AD, est plus courte que la ligne A E. Car puisque la ligne AD, eft

perpendiculaire sur B C, la ligne BD, sera aufli perpendiculaire sur la ligne AF. Or par la construction le point D, est également éloigné des points A, & F. Donc le point E, point de la perpendiculaire, est aussi à égale distance des mêmes points A, F. C'està-dire que la ligne A E, est égale à la ligne E F. Or les lignes AE, EF, prises ensemble, sont plus longues que AD, DF, prises ensemble, puisque AF, est une ligne droite, c'est-à-dire, la plus courte mesure entre les points A, F, donc AD, moitié de AF, est plus courte que AE, moitié de AEE Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE, 0x confequence éyidente de cette

Proposition.

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Il s'ensuit de cette Proposition que deux lignes droites, perpendiculaires sur une même ligne, ne peuvent jamais se rencontrer , quoique prolongées à l'infini; car si elles se rencontroient en un point, il seroit vrai de dire que de ce point de rencontre partiroient deux perpendiculaires à une même ligne. Ce que nous venons de démontrer impossible dans la precedente Proposition.

CINQUIE'ME PROPOSITION.

Les lignes obliques, partant du même point, font d'autant plus longues qu'elles sont plus éloignées do la perpendiculaire.

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Soit la ligne AD, perpen

А diculaire sur la ligne BC. Soient les obliques AE, AB, menées du point A, je dis que la ligne AB, est

E ID plus longue que la ligne A E. B

C Soit prolongée A D, jusqu'en F, en sorte que DF, soit égale à DA, & soient menées les lignes EF, B F. Puisque AD, eft

F perpendiculaire sur BC, il faut que BD, foit perpendiculaire sur AF; eela étant, comme le point D, est fupposé également éloigné des points A, F, tout autre point de la perpendiculaire BD, sera à égale distance des mêmes points A., F; donc B A est égale à BF, comme É A, est égale à EF. Or ABF, contenant AEF, est plus grand que A EF, donc AB, moitié de ABF, est plus grande que AE, moitié de AEF.

Sixie'ME PROPOSITION.

De trois choses qu'on peut comparer , sçavoir la perpendiculaire , l'oblique, & l'éloignement de pera pendicule; fi. deux sont égales, il s'ensuit que la troisiéme l'est aussi. Premier Cas. Soit la perpendi

А. culaire AD, égale à elle-même; BD, éloignement de perpendicule égale à DC, autre éloignement de perpendicule; je dis que

B l'oblique AB, est égale à l'obli

D que AC. Car la ligne AD, étant perpendiculaire sur la ligne BC, & le point D,

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