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PREMIERE PROPOSITION.

B

Les angles oppofés au fommet font égaux. Soient les deux lignes BAE, CAD, qui fe coupent au point A. Les angles BAC, DA E, font dits oppofés au fommet & de même les angles BAD, CAE.

Il faut démontrer que l'angle BAC, eft égal à l'angle DAE, & que l'angle BAD, eft égal à l'angle D

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H

E CAE. Du centre A, foit décrit un cercle de tel intervalle qu'on voudra. Il n'y a qu'à faire voir que Parc FG, eft égal à l'arc HI. Or cela eft vifible de foi-même car GFH, eft une demi-circonference, ou 180 degrés; FHI, autre demi-circónference; l'une & l'autre a l'arc FH, commun: ainfi fi l'on le retranche, refte d'un part l'arc GF, & de l'autre HI, qui ne peuvent manquer d'être égaux. On démontre avec la même facilité, l'égalité des deux autres angles.

SECONDE

Si l'on mene de differens côtés plufieurs lignes aboutiffant toutes au même point, en quelque nombre qu'elles foient, tous les angles qu'elles comprendront, vaudront ensemble quatre angles droits.

Car du point de rencontre décrivant une cir

PROPOSITION.

"

conference, elle fera la mesure de tous ces differens angles, & par confequent tous ensemble vaudront 360 degrés, ou quatre fois 90 degrés, c'est-à-dire quatre angles droits.

I. SECTION.

De la maniere de confiderer les Angles par leurs Sinus!

Quand on compare deux angles l'un avec l'autre, on peut confiderer l'égalité des angles mêmes, l'égalité de leurs Sinus, & l'égalité des côtés que l'on choifit pour raion. Or deux de ces égalités don¬ nées, donnent la troifiéme.

TROISIEME PROPOSITION.

Si deux angles ont le raion égal, & le Sinus égal ils font eux-mêmes égaux.

Soient deux angles ABD, EFH. Soient les raïons BA, FE, égaux, & foient auffi égaux les Sinus AC, E G. Il faut démon- B.

trer que

les arcs AD,

EH, font égaux, d'où s'enfuit l'égalité des

angles.

Puifque les deux.

D

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centres, font égaux.

les points B, F, pour F

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D'ailleurs les deux Sinus AC, EG, étant égaux & étant moitiés de cordes égales, le double de la ligne AC, fera égal au double de la ligne EG. Or

le double de la ligne AC, & le double de la ligne EG, feront deux cordes égales de deux cercles égaux ; donc elles foutiendront des arcs égaux; donc le double de l'arc AP, fera égal au double de l'arc EH; donc l'arc AD, est égal à l'arc EH; donc l'angle égal à l'angle.

Les deux autres cas de la Propofition, qui ne font pas de grand ufage, fe démontrent avec la même facilité.

QUATRIE ME PROPOSITION.

Si une ligne oblique eft entre paralleles, elles forment deux angles aigus & deux obtus. L'aigu à l'égard de l'aigu s'appelle Alterne, & l'obtus à l'égard de l'obtus de même, & ces angles Alternes font égaux. Soient les pa

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Pour le prouver. Du point D, pris pour centre, intervalle DA,

G

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foit décrite la portion de cercle AFH, & du point A, pris pour centre, intervalle AD, foit décrite la portion DCG. Il eft certain que les deux cercles font égaux, puifqu'ils ont même raïon. De plus, aïant mené du point D, la ligne DB, perpendiculaire fur la ligne CA; DB, fera le Sinus de l'arc CD: de mêmẹ aïant mené du point A, la ligne AE, per

pendiculairement fur DF; AE,

G

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& le Sinus égal au Sinus; donc l'arc égal à l'arc, & l'angle égal à l'angle, par la precedente Propofition. Cela eft encore plus vifible, en confiderant que la perpendiculaire DB, eft la moitié de la corde DG, comme la perpendiculaire AE, eft la moité de la corde AH. Donc la corde eft égale à la corde. Or par la nature du cercle, les cordes égales dans les cercles égaux foutiennent des arcs égaux; donc l'arc DCG, égal à l'arc AFH; donc la moitié DC, égale à la moitié A F; donc les angles font égaux.

CINQUIEME PROPOSITION.

fes côn

Tout angle, y compris les deux angles que tés font avec fa bafe, vaut deux angles droits, c'eft

à-dire 180 degrés.

Soit l'angle donné BAC,

dont le fommet eft A, la D bafe BC. Il faut prouver que l'angle donné BAC, Fangle ABC, & l'angle ACB, pris ensemble, valent 180 degrés.

B

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Par le fommet A; foit menée DAE, parallele à la bafe BC. Il eft vifible que les deux côtés AB, AC, font avec la ligne DAE, trois angles qui valent deux droits, puifqu'ils font mefurés par la demi-circonference FHG, dont le centre eft A. Or par la précedente Propofition, l'angle D AB, eft égal à l'angle de la bafe ABC, & par la même Propofition, l'angle EAC, eft égal à l'angle ACB: Donc c'est la même chofe de prendre la valeur des deux angles DAB, EAC, ou celle des deux angles de la bafe ABC, ACB. Or les deux premiers avec l'angle du fommet BAC, valent deux droits. Donc les deux derniers, c'eft-à-dire les deux angles de la base avec l'angle donné BAC, valent deux angles droits.

COROLLAIRE.

Qui connoît deux de ces angles, connoît neceffai rement le troifiéme; car, par exemple, fi deux de ces angles pris ensemble, valent 130 degrés, il faut que le troifiéme en vaille cinquante 180 degrés avec les deux autres.

II. COROLLAIRE.

» pour

faire

Si l'angle du fommet eft un angle droit, les deux de la bafe pris ensemble, vaudront un angle droit.

SIXIE ME PROPOSITION.

Si l'on prolonge une ligne prife pour la base d'un angle, elle formera du côté qu'elle fera prolongée, un angle avec l'un des côtés de l'angle donné, & ce nouvel angle s'appelle Angle exterieur, qui eft toû jours égal aux deux oppofés interieurs; c'est-à-dire, à l'angle du fommet, & à l'autre angle de la base.

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